1. Énoncé du problème : Exprimer le vecteur $\vec{w} = (8, -7, 8)$ comme une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u} = (2, -1, -1)$ et $\vec{v} = (-4, 3, -2)$, c'est-à-dire trouver des scalaires $a$ et $b$ tels que $$\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$$ 2. Écriture du système : Cela revient à résoudre le système d'équations suivant : $$ \begin{cases} 8 = 2a - 4b \\ -7 = -a + 3b \\ 8 = -a - 2b \end{cases} $$ 3. Résolution du système : De la deuxième équation, isolons $a$ : $$-7 = -a + 3b \implies a = 7 + 3b$$ Substituons $a$ dans la première équation : $$8 = 2(7 + 3b) - 4b = 14 + 6b - 4b = 14 + 2b$$ $$2b = 8 - 14 = -6 \implies b = -3$$ Puis, calculons $a$ : $$a = 7 + 3(-3) = 7 - 9 = -2$$ Vérifions avec la troisième équation : $$8 = -a - 2b = -(-2) - 2(-3) = 2 + 6 = 8$$ La troisième équation est satisfaite. 4. Conclusion sur la combinaison linéaire : Le vecteur $\vec{w}$ s'exprime comme : $$\vec{w} = -2\vec{u} - 3\vec{v}$$ 5. Dépendance linéaire : Pour vérifier si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement dépendants, on regarde si $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Comme nous avons trouvé des scalaires $a$ et $b$ non tous nuls tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, les vecteurs sont linéairement dépendants. Réponse finale : $$\vec{w} = -2\vec{u} - 3\vec{v}$$ Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement dépendants.