1. Énonçons le problème : On a une fonction $y = 4x^2 - 4x + 8 + x - 2$, que l'on peut simplifier. 2. Simplifions l'expression de $y$ : $$y = 4x^2 - 4x + 8 + x - 2 = 4x^2 - 3x + 6$$ 3. On considère l'équation quadratique associée à $y = 4x^2 - 3x + 6$ et on cherche ses racines. Le discriminant est donné par : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 4 \times 6 = 9 - 96 = -87$$ 4. Comme le discriminant est négatif ($\Delta < 0$), l'équation n'a pas de racines réelles. 5. Dans la question, il est fait mention de deux solutions : $$x_1 = \frac{2x - \sqrt{4x^2 - 4x + 8}}{2}\quad \text{et} \quad x_2 = \frac{2x + \sqrt{4x^2 - 4x + 8}}{2}$$ Mais puisque la racine sous le radical n'est pas toujours positive réelle, nous devons vérifier le contexte. Celui-ci indique que $x \in ]\frac{1}{2}; 2]$ et $y \in [0; +\infty[$. 6. Choisir entre $x_1$ et $x_2$ dépend du signe à attribuer car la fonction doit correspondre à $y$ dans le domaine donné. 7. En pratique, on choisit la solution qui respecte les contraintes du domaine et produit des valeurs $y \geq 0$, à savoir $x_2$ car il ajoute la racine et tend à produire des valeurs positives de $y$. 8. \textbf{Conclusion :} On choisit la solution $$x_2 = \frac{2x + \sqrt{4x^2 - 4x + 8}}{2}$$ car elle répond aux contraintes données sur les ensembles de départ et d'arrivée.