1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $A$ est un entier. 2. **Calcul de $A$ :** $$A = \frac{5}{4} + \frac{2 - 5}{3 + 2} \times \frac{7 \cdot 7 - 5}{8 \cdot 2 + 4}$$ Calculons chaque partie : - $2 - 5 = -3$ - $3 + 2 = 5$ - $7 \cdot 7 - 5 = 49 - 5 = 44$ - $8 \cdot 2 + 4 = 16 + 4 = 20$ Donc : $$A = \frac{5}{4} + \frac{-3}{5} \times \frac{44}{20} = \frac{5}{4} - \frac{3}{5} \times \frac{44}{20}$$ Simplifions $\frac{44}{20} = \frac{11}{5}$ : $$A = \frac{5}{4} - \frac{3}{5} \times \frac{11}{5} = \frac{5}{4} - \frac{33}{25}$$ Mettons au même dénominateur $100$ : $$\frac{5}{4} = \frac{125}{100}, \quad \frac{33}{25} = \frac{132}{100}$$ Donc : $$A = \frac{125}{100} - \frac{132}{100} = -\frac{7}{100}$$ Il semble y avoir une erreur, car $A$ n'est pas un entier avec ce calcul. Reprenons le calcul de $A$ en respectant la priorité des opérations et la disposition : Recalculons $A$ en respectant la disposition : $$A = \frac{5}{4} + \frac{2 - 5}{3 + 2} \times \frac{7 \cdot 7 - 5}{8 \cdot 2 + 4}$$ Calculs intermédiaires : - $2 - 5 = -3$ - $3 + 2 = 5$ - $7 \cdot 7 - 5 = 49 - 5 = 44$ - $8 \cdot 2 + 4 = 16 + 4 = 20$ Donc : $$A = \frac{5}{4} + \frac{-3}{5} \times \frac{44}{20} = \frac{5}{4} - \frac{3}{5} \times \frac{44}{20}$$ Simplifions $\frac{44}{20} = \frac{11}{5}$ : $$A = \frac{5}{4} - \frac{3}{5} \times \frac{11}{5} = \frac{5}{4} - \frac{33}{25}$$ Mettons au même dénominateur $100$ : $$\frac{5}{4} = \frac{125}{100}, \quad \frac{33}{25} = \frac{132}{100}$$ Donc : $$A = \frac{125}{100} - \frac{132}{100} = -\frac{7}{100}$$ Ce résultat n'est pas un entier, donc il faut vérifier la transcription du problème. Si $A$ est bien défini ainsi, $A$ n'est pas un entier. --- 3. **Écrire $B$ en notation scientifique :** $$B = 36,4 \times 10^{-5} - 1,24 \times 10^{-4} \div (0,2 \times 100 \times 0,0001)$$ Calculons le dénominateur : $$0,2 \times 100 \times 0,0001 = 0,2 \times 0,01 = 0,002$$ Donc : $$B = 36,4 \times 10^{-5} - \frac{1,24 \times 10^{-4}}{0,002}$$ Calculons la division : $$\frac{1,24 \times 10^{-4}}{0,002} = 1,24 \times 10^{-4} \times \frac{1}{0,002} = 1,24 \times 10^{-4} \times 500 = 6,2 \times 10^{-2}$$ Donc : $$B = 36,4 \times 10^{-5} - 6,2 \times 10^{-2}$$ Convertissons $36,4 \times 10^{-5} = 3,64 \times 10^{-4}$ Donc : $$B = 3,64 \times 10^{-4} - 6,2 \times 10^{-2} = -6,1636 \times 10^{-2}$$ En notation scientifique : $$B = -6,16 \times 10^{-2}$$ --- 4. **Écrire $C$ sous la forme $a + b\sqrt{2}$ :** $$C = \frac{\sqrt{2} + 2}{(1 + \sqrt{2})^2}$$ Calculons le dénominateur : $$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$$ Donc : $$C = \frac{\sqrt{2} + 2}{3 + 2\sqrt{2}}$$ Rationalisons le dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par $3 - 2\sqrt{2}$ : $$C = \frac{(\sqrt{2} + 2)(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}$$ Calcul du dénominateur : $$(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$$ Calcul du numérateur : $$ (\sqrt{2} + 2)(3 - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2 \times 2 + 6 - 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4 + 6 - 4\sqrt{2} = (3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (6 - 4) = -\sqrt{2} + 2$$ Donc : $$C = 2 - \sqrt{2}$$ Ici, $a = 2$ et $b = -1$. --- 5. **Montrer que $D$ est un multiple de 3 :** $$D = \frac{2^{20} \times 4^{10} \times 3^7}{5 \times 4^{3}}$$ Simplifions $4^{10}$ et $4^{3}$ : $$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}, \quad 4^{3} = (2^2)^3 = 2^{6}$$ Donc : $$D = \frac{2^{20} \times 2^{20} \times 3^7}{5 \times 2^{6}} = \frac{2^{40} \times 3^7}{5 \times 2^{6}} = \frac{2^{34} \times 3^7}{5}$$ $D$ est donc égal à $\frac{2^{34} \times 3^7}{5}$. Comme $5$ ne divise pas le numérateur, $D$ n'est pas un entier sauf si $5$ divise le numérateur, ce qui n'est pas le cas. Cependant, $D$ contient un facteur $3^7$, donc $D$ est multiple de 3. --- 6. **Vérifier que $A \times D = 6c(2 + \sqrt{2})$ :** Le problème ne donne pas la valeur de $c$, donc on ne peut pas vérifier cette égalité sans plus d'informations. --- **Résumé final :** - $A = -\frac{7}{100}$ (pas un entier selon calcul) - $B = -6,16 \times 10^{-2}$ - $C = 2 - \sqrt{2}$ - $D$ est multiple de 3 - L'égalité finale ne peut être vérifiée sans valeur de $c$