1. **Énoncé du problème :** Montrer que $(A, +)$ est un groupe commutatif, où $A = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ et la loi $+$ est définie par $(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour montrer qu'une structure est un groupe commutatif, il faut vérifier : - La fermeture : $\forall a, b \in A, a + b \in A$. - L'associativité : $\forall a, b, c \in A, (a + b) + c = a + (b + c)$. - L'existence d'un élément neutre $e$ tel que $a + e = a$. - L'existence d'inverses : $\forall a \in A, \exists a^{-1}$ tel que $a + a^{-1} = e$. - La commutativité : $a + b = b + a$. 3. **Vérification de la fermeture :** Soient $(x, y), (x', y') \in A$, alors $$(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') \in A,$$ car la somme de réels est un réel. 4. **Associativité :** Pour $(x, y), (x', y'), (x'', y'') \in A$, $$((x, y) + (x', y')) + (x'', y'') = (x + x', y + y') + (x'', y'') = (x + x' + x'', y + y' + y''),$$ $$ (x, y) + ((x', y') + (x'', y'')) = (x, y) + (x' + x'', y' + y'') = (x + x' + x'', y + y' + y''),$$ ce qui montre l'associativité. 5. **Élément neutre :** L'élément neutre est $(0, 0)$ car $$(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y).$$ 6. **Inverses :** Pour $(x, y) \in A$, l'inverse est $(-x, -y)$ car $$(x, y) + (-x, -y) = (0, 0).$$ 7. **Commutativité :** $$(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') = (x' + x, y' + y) = (x', y') + (x, y).$$ **Conclusion :** $(A, +)$ est un groupe commutatif. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que la loi $*$ définie par $$(x, y) * (x', y') = (xx', xy' + x'y)$$ est commutative. 2. **Commutativité :** Calculons $$(x, y) * (x', y') = (xx', xy' + x'y),$$ $$(x', y') * (x, y) = (x'x, x'y + xy').$$ Comme $xx' = x'x$ et $xy' + x'y = x'y + xy'$, la loi $*$ est commutative. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $*$ est associative. 2. **Associativité :** Soient $(x, y), (x', y'), (x'', y'') \in A$. Calculons $$((x, y) * (x', y')) * (x'', y'') = (xx', xy' + x'y) * (x'', y'') = \left((xx')x'', (xx')y'' + x''(xy' + x'y)\right),$$ soit $$\left(x(x'x''), x x' y'' + x'' x y' + x'' x' y\right).$$ Calculons $$(x, y) * ((x', y') * (x'', y'')) = (x, y) * (x'x'', x'y'' + x'' y') = \left(x (x'x''), x (x'y'' + x'' y') + (x'x'') y\right),$$ soit $$\left(x (x'x''), x x' y'' + x x'' y' + x' x'' y\right).$$ Les deux expressions sont égales, donc $*$ est associative. --- 1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'élément neutre pour $*$. 2. **Élément neutre :** Cherchons $(e_1, e_2)$ tel que $$(x, y) * (e_1, e_2) = (x, y).$$ Cela donne $$(x e_1, x e_2 + e_1 y) = (x, y).$$ Pour tout $x, y$, on doit avoir $$x e_1 = x \Rightarrow e_1 = 1,$$ $$x e_2 + e_1 y = y \Rightarrow x e_2 + y = y \Rightarrow x e_2 = 0.$$ Pour tout $x$, cela implique $e_2 = 0$. Donc l'élément neutre est $(1, 0)$. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que $(A, +, *)$ est un anneau commutatif. 2. **Anneau commutatif :** On a déjà montré que $(A, +)$ est un groupe abélien. On a montré que $*$ est associative et commutative avec élément neutre. Il reste à vérifier la distributivité : $$(x, y) * ((x', y') + (x'', y'')) = (x, y) * (x' + x'', y' + y'') = (x(x' + x''), x(y' + y'') + (x' + x'') y),$$ soit $$(x x' + x x'', x y' + x y'' + x' y + x'' y).$$ D'autre part, $$(x, y) * (x', y') + (x, y) * (x'', y'') = (x x', x y' + x' y) + (x x'', x y'' + x'' y) = (x x' + x x'', x y' + x' y + x y'' + x'' y).$$ Les deux expressions sont égales, donc la distributivité est vérifiée. **Conclusion :** $(A, +, *)$ est un anneau commutatif.