1. Énoncé du problème. Problème: Rendre rationnel des expressions contenant $A=\sqrt{2}$. 2. Méthode générale. Pour rationaliser un dénominateur qui contient une racine, on multiplie numérateur et dénominateur par la racine appropriée ou par le conjugué si le dénominateur est une somme ou une différence. 3. Exemple 1 — $\frac{1}{A}$. On veut rendre rationnel $\frac{1}{A}$. Multiplier numérateur et dénominateur par $A$ pour éliminer la racine au dénominateur. $\frac{1}{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{A}\cdot\frac{A}{A}=\frac{A}{A^2}$. Comme $A^2=2$, on obtient $\frac{A}{2}$. Donc $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 4. Exemple 2 — $\frac{1}{1+A}$. On veut rendre rationnel $\frac{1}{1+A}$. Multiplier par le conjugué $\frac{1-A}{1-A}$ pour supprimer la racine au dénominateur. $\frac{1}{1+A}\cdot\frac{1-A}{1-A}=\frac{1-A}{(1+A)(1-A)}$. Or $(1+A)(1-A)=1-A^2$. Comme $A^2=2$, on a $1-A^2=1-2=-1$. Ainsi $\frac{1-A}{-1}=A-1$. Donc $\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. 5. Résumé des résultats. Pour $A=\sqrt{2}$, on a $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.