1. Énoncé du problème: On demande de calculer plusieurs expressions et de factoriser des polynômes. 2. Calcul de $S$: On interprète $7,3$ comme la valeur décimale $7{,}3$. 2.1 On calcule d'abord $17-7=10$. 2.2 Donc $S=7{,}3\times(17-7)=7{,}3\times10=73$. 3. Proportion: On cherche $x$ tel que $\frac{25}{20}=\frac{x}{4}$. 3.1 En multipliant par 4 on obtient $x=4\times\frac{25}{20}$. 3.2 Simplification: $x=\frac{100}{20}=5$. 4. Calcul de $I$ et $J$: $I=\frac{42}{70}$. 4.1 Simplification: $I=\frac{42\div14}{70\div14}=\frac{3}{5}$. 4.2 Pour $J$ on prend $J=\frac{49\times4}{35\times14}$, on calcule numérateur et dénominateur: $49\times4=196$ et $35\times14=490$. 4.3 Ainsi $J=\frac{196}{490}$. 4.4 Simplification: $J=\frac{196\div98}{490\div98}=\frac{2}{5}$. 4.5 Donc $I+J=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1$. 5. Factorisation de $M,N,P$ et calcul de $a\times b$ où on prend $a=M$ et $b=N$. 5.1 Simplifier chaque expression: $M=4x-20=4(x-5)$. 5.2 $N=6x+9=3(2x+3)$. 5.3 $P=22x-11=11(2x-1)$. 5.4 Calcul de $a\times b=(4x-20)(6x+9)$. 5.5 Développons: $(4x-20)(6x+9)=4x\times6x+4x\times9-20\times6x-20\times9$. 5.6 Donc $(4x-20)(6x+9)=24x^{2}+36x-120x-180$. 5.7 Simplification: $24x^{2}-84x-180$. 5.8 Factorisation: on extrait 12: $=12(2x^{2}-7x-15)$. 5.9 On factorise le trinôme: $2x^{2}-7x-15=(2x+3)(x-5)$. 5.10 Ainsi $a\times b=12(2x+3)(x-5)$. Réponses finales: $S=73$. Pour la proportion le numérateur recherché est 5, donc $\frac{25}{20}=\frac{5}{4}$. $I=\frac{3}{5}$, $J=\frac{2}{5}$ et $I+J=1$. $M=4(x-5)$, $N=3(2x+3)$, $P=11(2x-1)$. $a\times b=12(2x+3)(x-5)$.