1. مسئله: حل و بررسی اعداد مختلط و عملیات روی آن‌ها. 2. تعریف عدد مختلط: عددی به صورت $z = a + bi$ که در آن $a$ قسمت حقیقی و $b$ قسمت موهومی است و $i$ واحد موهومی است که $i^2 = -1$. 3. جمع اعداد مختلط: برای دو عدد مختلط $z_1 = a + bi$ و $z_2 = c + di$ داریم: $$z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$$ 4. ضرب اعداد مختلط: $$z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$ 5. قدر مطلق عدد مختلط: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ 6. مزدوج عدد مختلط: $$\overline{z} = a - bi$$ 7. تقسیم اعداد مختلط: برای تقسیم $\frac{z_1}{z_2}$ از مزدوج استفاده می‌کنیم: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$ 8. مثال: اگر $z_1 = 3 + 4i$ و $z_2 = 1 - 2i$ باشد، جمع: $$z_1 + z_2 = (3+1) + (4-2)i = 4 + 2i$$ ضرب: $$z_1 \times z_2 = (3)(1) - (4)(-2) + ((3)(-2) + (4)(1))i = 3 + 8 + (-6 + 4)i = 11 - 2i$$ قدر مطلق $z_1$: $$|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ مزدوج $z_2$: $$\overline{z_2} = 1 + 2i$$ تقسیم: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3+4i)(1+2i)}{1^2 + (-2)^2} = \frac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{1 + 4} = \frac{3 + 10i - 8}{5} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$$ نتیجه: عملیات روی اعداد مختلط به صورت جمع، ضرب، قدر مطلق، مزدوج و تقسیم به این شکل انجام می‌شود و در مهندسی عمران برای تحلیل مسائل مختلف کاربرد دارد.