1. مسئله: نیمساز زاویه $60^\circ$ خط $Oz$ است و طول بردار $\overrightarrow{OB} = \sqrt{3}$. باید محیط مثلث $OAC$ را پیدا کنیم. 2. ابتدا باید بفهمیم نقاط $A$ و $C$ کجا قرار دارند. چون $Oz$ نیمساز زاویه است، زاویه $\angle AOC = 60^\circ$ است و $Oz$ این زاویه را به دو زاویه $30^\circ$ تقسیم می‌کند. 3. فرض کنیم $OA$ و $OC$ روی محورهای $z$ و $x$ هستند که زاویه بین آن‌ها $60^\circ$ است. همچنین $OB$ برداری است که روی نیمساز $Oz$ قرار دارد و طول آن $\sqrt{3}$ است. 4. چون $Oz$ نیمساز زاویه است، بردار $OB$ در وسط زاویه $60^\circ$ قرار دارد، یعنی زاویه $30^\circ$ با هر یک از بردارهای $OA$ و $OC$ دارد. 5. با توجه به اینکه $OB$ روی نیمساز است و طول آن $\sqrt{3}$، می‌توانیم طول $OA$ و $OC$ را با استفاده از قانون کسینوس‌ها یا روابط مثلثاتی پیدا کنیم. 6. در مثلث $OAB$، زاویه $\angle AOB = 30^\circ$ و $OB = \sqrt{3}$. اگر طول $OA = x$ باشد، با توجه به اینکه $OB$ نیمساز است و زاویه‌ها برابر تقسیم شده‌اند، می‌توانیم از روابط مثلثاتی استفاده کنیم. 7. با توجه به هندسه، $OA = OC$ است چون $Oz$ نیمساز زاویه است و $A$ و $C$ روی دو ضلع زاویه $60^\circ$ هستند. 8. محیط مثلث $OAC$ برابر است با: $$\text{محیط} = OA + AC + OC = 2OA + AC$$ 9. برای پیدا کردن $AC$ از قانون کسینوس‌ها در مثلث $OAC$ استفاده می‌کنیم: $$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(60^\circ)$$ چون $OA = OC = x$ داریم: $$AC^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2} = 2x^2 - x^2 = x^2$$ پس: $$AC = x$$ 10. بنابراین محیط مثلث: $$\text{محیط} = 2x + x = 3x$$ 11. حال باید مقدار $x$ را پیدا کنیم. چون $OB$ روی نیمساز است و طول آن $\sqrt{3}$، و زاویه بین $OA$ و $OC$ برابر $60^\circ$ است، می‌توانیم از رابطه نیمساز استفاده کنیم: $$OB = \frac{2 OA \cdot OC \cdot \cos(30^\circ)}{OA + OC}$$ با توجه به $OA = OC = x$ داریم: $$OB = \frac{2x^2 \cdot \cos(30^\circ)}{2x} = x \cos(30^\circ)$$ 12. مقدار $OB = \sqrt{3}$ و $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ است، پس: $$\sqrt{3} = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 2$$ 13. در نهایت محیط مثلث: $$\text{محیط} = 3x = 3 \times 2 = 6$$ پاسخ نهایی: محیط مثلث $OAC$ برابر 6 است.