1. ابدأ بمعلومة معادلة المستقيم AB وهي $$y = \frac{1}{2} x + 3$$ ونعلم أن الرأس B يقع عند الإحداثي x=8 (معلومة المعطى 1(2)). 2. لإيجاد إحداثيات الرأس B نُعوض 8 في معادلة المستقيم: $$y = \frac{1}{2} \times 8 + 3 = 4 + 3 = 7$$ إذًا، إحداثيات الرأس B هي $$ (8,7) $$. 3. لإيجاد إحداثيات الرأس A على محور x (y=0)، نضع: $$0 = \frac{1}{2} x + 3$$ نحل المعادلة: $$\frac{1}{2} x = -3 \Rightarrow x = -6$$ إذاً إحداثيات الرأس A هي $$ (-6,0) $$. 4. معطى الرأس C هو $$ (14, 0) $$. 5. لإثبات أن الضلع AB يوازي الضلع BC: - نحسب ميل AB: $$m_{AB} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{7-0}{8-(-6)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$ - نحسب ميل BC: $$m_{BC} = \frac{y_{C} - y_{B}}{x_{C} - x_{B}} = \frac{0-7}{14-8} = \frac{-7}{6}$$ ميل BC هو $$-\frac{7}{6}$$ وليس $$\frac{1}{2}$$، ولكن الخطأ في المعطيات أو طبيعة السؤال. بناءً على المعطيات، AB لا يوازي BC (ميلان مختلفان). 6. لحساب معادلة المستقيم EC (معطى أن ميل EC = $$-\frac{1}{2}$$) ونعلم نقطة C: المعادلة بصيغة الميل ونقطة: $$y - y_C = m (x - x_C)$$ نعوض: $$y - 0 = -\frac{1}{2} (x - 14)$$ $$y = -\frac{1}{2} x + 7$$ 7. لإيجاد إحداثيات النقطة E على المستقيم AB وEC، نحل نظام المعادلات: المستقيم AB: $$y = \frac{1}{2} x + 3$$ المستقيم EC: $$y = -\frac{1}{2} x + 7$$ نساوي y: $$\frac{1}{2} x + 3 = -\frac{1}{2} x + 7$$ نحل: $$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x = 7 - 3$$ $$x = 4$$ نحسب y: $$y = \frac{1}{2} \times 4 + 3 = 2 + 3 = 5$$ إحداثيات النقطة E هي $$ (4,5) $$. 8. لحساب مساحة المثلث EBC: استخدم قاعدة المساحة للمثلث مع إحداثيات الرؤوس: مساحة = $$ \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | $$ حيث E = (4,5), B = (8,7), C = (14,0) نحسب: $$\frac{1}{2} | 4(7 - 0) + 8(0 - 5) + 14(5 - 7) | = \frac{1}{2} | 4 \times 7 + 8 \times (-5) + 14 \times (-2) | = \frac{1}{2} | 28 - 40 - 28 | = \frac{1}{2} | -40 | = 20$$ 9. النقطة F تقع على محور x بحيث قطعة EF توازى المحور y وهذا يعني أن x_F = x_E = 4 والـ y_F = 0 (لأنها على المحور x). إحداثيات F هي $$ (4, 0) $$. 10. لحساب مساحة الشكل الرباعي FEBC نفكر فيه كمجموع مساحة المثلثين EFC و FBC. - مساحة المثلث EFC (قاعدة EF وارتفاع FC): قاعدة EF = المسافة بين E و F: $$|y_E - y_F| = 5 - 0 = 5$$ الارتفاع FC = المسافة بين F (4,0) و C (14,0): $$|x_C - x_F| = 14 - 4 = 10$$ مساحة المثلث EFC = $$ \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$$ - مساحة المثلث FBC: الفكرة: القاعدة BC طولها $$\sqrt{(14-8)^2 + (0-7)^2} = \sqrt{6^2 + (-7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$$ لكن لإيجاد المساحة بسهولة نستخدم الإحداثيات مع صيغة المساحة لكن النقاط F، B، C: F=(4,0), B=(8,7), C=(14,0) $$ \frac{1}{2} |4(7-0) + 8(0-0) + 14(0-7)| = \frac{1}{2} |28 + 0 - 98| = \frac{1}{2} |-70| = 35$$ 11. مساحة الشكل الرباعي FEBC = مساحة EFC + مساحة FBC = 25 + 35 = 60 النتائج النهائية: - إحداثيات A : $$(-6,0)$$ - إحداثيات B: $$(8,7)$$ - إحداثيات E: $$(4,5)$$ - معادلة المستقيم EC: $$y = -\frac{1}{2} x + 7$$ - مساحة المثلث EBC: $$20$$ - إحداثيات F: $$(4,0)$$ - مساحة الشكل الرباعي FEBC: $$60$$