1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم نشان دهیم که مجموعه $$U_n = \{a \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq a < n, \gcd(a,n) = 1\}$$ همراه با عمل ضرب به پیمانه $$n$$ یک گروه آبلی است و تعداد اعضای آن برابر $$\varphi(n)$$ (تابع اویلر) است. 2. ابتدا باید نشان دهیم که $$U_n$$ با عمل ضرب به پیمانه $$n$$ یک عمل دوتایی خوش‌تعریف دارد. یعنی اگر $$a,b \in U_n$$ باشند، آنگاه $$a \times b \bmod n \in U_n$$. 3. خوش‌تعریف بودن عمل: اگر $$a,b \in U_n$$ باشند، یعنی $$\gcd(a,n) = 1$$ و $$\gcd(b,n) = 1$$. می‌خواهیم نشان دهیم که $$\gcd(ab \bmod n, n) = 1$$. از آنجا که $$\gcd(a,n) = 1$$ و $$\gcd(b,n) = 1$$، پس $$a$$ و $$b$$ هر دو نسبت به $$n$$ اول‌اند. از خاصیت‌های عددی می‌دانیم که اگر $$\gcd(a,n) = 1$$ و $$\gcd(b,n) = 1$$، آنگاه $$\gcd(ab,n) = 1$$. بنابراین $$ab \bmod n$$ نیز نسبت به $$n$$ اول است و در نتیجه $$ab \bmod n \in U_n$$. 4. وجود عنصر همانی: عدد $$1$$ در $$U_n$$ هست چون $$\gcd(1,n) = 1$$ و $$1 \leq 1 < n$$. و برای هر $$a \in U_n$$ داریم: $$a \times 1 \equiv a \pmod{n}$$ و $$1 \times a \equiv a \pmod{n}$$. پس $$1$$ عنصر همانی است. 5. وجود عنصر معکوس: برای هر $$a \in U_n$$، چون $$\gcd(a,n) = 1$$، طبق قضیه بزل، اعداد صحیح $$x,y$$ وجود دارند که: $$ax + ny = 1$$. اگر این رابطه را به پیمانه $$n$$ در نظر بگیریم، داریم: $$ax \equiv 1 \pmod{n}$$. پس $$x$$ معکوس ضربی $$a$$ در $$U_n$$ است. 6. بسته بودن عمل: از مرحله 3 اثبات کردیم که حاصل ضرب دو عضو $$U_n$$ باز هم در $$U_n$$ است. 7. خاصیت جابجایی: ضرب اعداد صحیح جابجاست، پس برای هر $$a,b \in U_n$$ داریم: $$a \times b \equiv b \times a \pmod{n}$$. بنابراین $$U_n$$ یک گروه آبلی است. 8. تعداد اعضا: تعداد اعضای $$U_n$$ برابر تعداد اعداد طبیعی کمتر از $$n$$ است که نسبت به $$n$$ اول باشند، که تعریف تابع اویلر $$\varphi(n)$$ است. پس $$|U_n| = \varphi(n)$$. نتیجه: مجموعه $$U_n$$ همراه با عمل ضرب به پیمانه $$n$$ یک گروه آبلی است که تعداد اعضای آن برابر $$\varphi(n)$$ است.