1. بيان المسألة: نريد استخدام البرهان بالمثال المعاكس لإثبات أن العلاقة $||x|-|y|| = |x| - |y|$ خاطئة. 2. اختيار مثال معاكس: خذ $x=1$ و $y=2$. 3. حساب الطرف الأيسر: $||x|-|y|| = ||1|-|2|| = |1-2| = |-1| = 1$. 4. حساب الطرف الأيمن: $|x|-|y| = |1|-|2| = 1-2 = -1$. 5. المقارنة والاستنتاج: الطرف الأيسر يساوي 1 والطرف الأيمن يساوي -1، وبما أن $1 \ne -1$ فإن العلاقة غير صحيحة. 6. شرح عام: لأن $||x|-|y||$ دائما غير سالب بينما $|x|-|y|$ قد يكون سالبا عندما $|x|<|y|$، فلا يمكن أن تكون المساواة صحيحة لجميع قيم $x,y$. 7. خاتمة: وجدنا مثال معاكس واحد يكفي لإثبات أن العلاقة خاطئة، إذن العبارة خاطئة.