1. نبدأ بكتابة المعطيات: المعادلة القطع الناقص هي $$9x^2 + ky^2 = 9k^2$$. 2. نعلم أن إحدى بؤرتي القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ المعطى بمعادلته $$\frac{1}{4}y^2 - 4x = 0$$. 3. نعيد كتابة معادلة القطع المكافئ بالشكل القياسي: $$\frac{1}{4}y^2 = 4x \implies y^2 = 16x$$. 4. بؤرة القطع المكافئ $$y^2 = 4px$$ هي عند النقطة $$(p,0)$$، حيث $4p=16 \implies p=4$$، إذن البؤرة عند $$(4,0)$$. 5. نريد أن تكون هذه النقطة بؤرة للقطع الناقص، أي أن البؤرة للقطع الناقص تقع عند $$(4,0)$$. 6. معادلة القطع الناقص بالشكل القياسي: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$. 7. نعيد كتابة معادلة القطع الناقص المعطاة: $$9x^2 + ky^2 = 9k^2 \implies \frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{\frac{9k^2}{k}} = 1$$ لكن هذا غير واضح، لذا نقسم المعادلة على $$9k^2$$: $$\frac{9x^2}{9k^2} + \frac{ky^2}{9k^2} = 1 \implies \frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{9k} = 1$$. 8. إذن: $$a^2 = k^2$$ و $$b^2 = 9k$$. 9. لأن البؤرة تقع على محور x، والقطع ناقص أفقي، البؤرتان عند: $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{k^2 - 9k}$$. 10. نعلم أن البؤرة عند $x=4$، إذن: $$c = 4$$. 11. نساوي: $$4 = \sqrt{k^2 - 9k} \implies 16 = k^2 - 9k$$. 12. نعيد ترتيب المعادلة: $$k^2 - 9k - 16 = 0$$. 13. نحل المعادلة التربيعية: $$k = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 64}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{145}}{2}$$. 14. إذن قيمتا $$k$$ هما: $$k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2}$$ أو $$k = \frac{9 - \sqrt{145}}{2}$$. 15. لأن $$k$$ يجب أن يكون موجبًا (لأن $$b^2 = 9k$$ ويجب أن يكون موجبًا)، نأخذ القيمة الموجبة: $$k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2}$$. **النتيجة النهائية:** $$k = \frac{9 + \sqrt{145}}{2}$$.