حل معادله چهارم
1. مسئله: حل معادله $$z^4 - 2z^2 + 4 = 0$$ را داریم.
2. برای حل این معادله، از جایگزینی استفاده میکنیم. فرض کنید $$w = z^2$$، پس معادله به شکل $$w^2 - 2w + 4 = 0$$ تبدیل میشود.
3. معادله درجه دوم $$w^2 - 2w + 4 = 0$$ را با استفاده از فرمول کلی حل معادلات درجه دوم حل میکنیم:
$$w = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}$$
4. چون داخل رادیکال منفی است، ریشهها مختلط هستند:
$$\sqrt{-12} = \sqrt{12}i = 2\sqrt{3}i$$
5. بنابراین:
$$w = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$$
6. حالا به یاد داریم که $$w = z^2$$، پس:
$$z^2 = 1 + \sqrt{3}i \quad \text{یا} \quad z^2 = 1 - \sqrt{3}i$$
7. برای یافتن $$z$$، ریشه دوم اعداد مختلط را محاسبه میکنیم. عدد مختلط را به فرم قطبی تبدیل میکنیم:
برای $$1 + \sqrt{3}i$$:
قدر مطلق:
$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$
زاویه:
$$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$
پس:
$$z = \sqrt{r} \left( \cos\frac{\theta}{2} + i \sin\frac{\theta}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right)$$
و ریشه دوم دیگر:
$$z = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6} \right)$$
8. به همین ترتیب برای $$1 - \sqrt{3}i$$:
قدر مطلق همان $$2$$ است.
زاویه:
$$\theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$$
ریشهها:
$$z = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$$
و
$$z = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6} + \pi\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} + \pi\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right)$$
9. در نتیجه، چهار ریشه معادله عبارتند از:
$$z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6} \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right)$$
این ریشهها را میتوان به صورت عددی نیز نوشت، اما فرم قطبی برای اعداد مختلط معمول است.
پاسخ نهایی: ریشههای معادله $$z^4 - 2z^2 + 4 = 0$$ چهار عدد مختلط بالا هستند.