1. نبدأ بفهم المسألة: المطلوب هو إثبات أن $f(a)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1}{a+1}$ عند إعطاء \(f(x)=\frac{1-x}{x} \cdot \frac{1}{x^3+1}\). 2. نعطى دالة $f(x)$: $$f(x) = \frac{1-x}{x} \cdot \frac{1}{x^3+1}$$ 3. الهدف هو إيجاد قيمة $f(a)$ عن طريق تعويض $x$ ب $a$: $$f(a) = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1}{a^3+1}$$ 4. نحتاج إلى تبسيط المقدار $\frac{1}{a^3+1}$. 5. نعلم أن $a^3+1$ هو مجموع مكعبين ويمكن التفكيك كالتالي: $$a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$$ 6. إذن: $$\frac{1}{a^3+1} = \frac{1}{(a+1)(a^2 - a + 1)}$$ 7. بالتالي: $$f(a) = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{1 - a}{a (a + 1) (a^2 - a + 1)}$$ 8. الآن نتحقق من العبارة المطلوب إثباتها: هي $f(a)=\frac{2}{3} \cdot \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{a+1}$ 9. بالمقارنة مع التعبير المبسط: $$\frac{1 - a}{a (a + 1) (a^2 - a + 1)} \neq \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - a}{a (a + 1)}$$ 10. لذا إما يوجد شرط إضافي ناقص أو خطأ في الصيغة التي أعطيت لنا. 11. إذا كان المطلوب هو إثبات شيء آخر يُرجى توضيح المعطيات. النتيجة: بالشكل الحالي، التعبير $f(a)$ لا يساوي $\frac{2}{3} \cdot \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1}{a+1}$ إلا إذا كان يوجد علاقة إضافية تربط $(a^2 - a + 1)$ مع $\frac{3}{2}$، وهذا غير صحيح عامةً.