1. لنبدأ بكتابة التعبير المطلوب تبسيطه: $$\sqrt{(5\sqrt{4}-9)(5\sqrt{4}+9)}$$ 2. نلاحظ أن هذا التعبير يمكن تبسيطه باستخدام الفرق بين مربعين: $$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$ حيث $$a = 5\sqrt{4}$$ و $$b = 9$$. 3. نحسب مربعات كل من $$a$$ و $$b$$: $$a^2 = (5\sqrt{4})^2 = 5^2 \times (\sqrt{4})^2 = 25 \times 4 = 100$$ $$b^2 = 9^2 = 81$$ 4. الآن نطبق الفرق بين مربعين: $$a^2 - b^2 = 100 - 81 = 19$$ 5. إذن، التعبير تحت الجذر يبسط إلى $$19$$. 6. بالتالي، قيمة التعبير الأصلي هي: $$\sqrt{19}$$ 7. العدد $$\sqrt{19}$$ ليس عدداً طبيعياً لأنه عددًا غير كامل. إذا كانت نية السؤال إثبات أن الجذر كلي لـ$$ (5\sqrt{4}-9)(5\sqrt{4}+9) $$ هو عدد طبيعي، فهذا غير صحيح لأن الناتج هو $$\sqrt{19}$$ وهو عدد غير طبيعي (غير صحيح). مراجعة: تحققنا من تبسيط التعبير بدقة، والتعبير يولد عددًا غير طبيعي، لذا لا يمكن إثبات ذلك، ما لم يكن هناك خطأ في النص الأولي للسؤال.