1. مسئله: تابع $f = \{(m, 1), (1, 2), (3, n), (m, n^2 - 5), (m, -1)\}$ یک تابع یک‌به‌یک است. باید مشخص کنیم کدام تابع از بین گزینه‌ها ثابت است. 2. تابع یک‌به‌یک یعنی هیچ دو ورودی متفاوت، خروجی یکسان نداشته باشند. 3. با توجه به زوج‌های مرتب داده شده، چون $f$ یک‌به‌یک است، مقادیر خروجی برای ورودی‌های مختلف باید متفاوت باشند. 4. بررسی زوج‌های مرتب: - $(m, 1)$ و $(m, n^2 - 5)$ و $(m, -1)$ سه زوج با ورودی $m$ هستند. برای تابع بودن، ورودی‌ها باید یکتا باشند یا خروجی‌ها برابر باشند. چون $f$ تابع است، ورودی $m$ فقط یک مقدار خروجی دارد، پس باید: $$1 = n^2 - 5 = -1$$ 5. حل معادلات: - از $1 = n^2 - 5$ داریم: $$n^2 = 6$$ - از $n^2 - 5 = -1$ داریم: $$n^2 = 4$$ 6. تناقض وجود دارد، پس باید ورودی‌های $m$ در زوج‌های مرتب متفاوت باشند. بنابراین، $m$ در زوج‌های مرتب مختلف متفاوت است. 7. حال گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم که کدام تابع ثابت است. تابع ثابت یعنی مقدار $y$ برای هر $x$ ثابت است و به $x$ وابسته نیست. 8. گزینه‌ها: - ۱) $y = (n - m)x + n$ - ۲) $y = (n + m)x + m$ - ۳) $y = (2m - n)x + n$ - ۴) $y = (2n - m)x + m$ 9. برای ثابت بودن، ضریب $x$ باید صفر باشد: - گزینه ۱: $n - m = 0 \Rightarrow n = m$ - گزینه ۲: $n + m = 0 \Rightarrow n = -m$ - گزینه ۳: $2m - n = 0 \Rightarrow n = 2m$ - گزینه ۴: $2n - m = 0 \Rightarrow m = 2n$ 10. با توجه به زوج‌های مرتب و شرط تابع یک‌به‌یک، تنها گزینه‌ای که می‌تواند ثابت باشد گزینه ۱ با شرط $n = m$ است. پاسخ: گزینه ۱) $y = (n - m)x + n$ ثابت است وقتی $n = m$. --- مسئله دوم در پیام وجود دارد اما طبق دستور فقط اولین سوال حل شده است.