1. نبدأ بتحديد المشكلة: لدينا مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه 12 سم، ونريد حساب مساحة الجزء المظلل. 2. مساحة مثلث متطابق الأضلاع تُحسب بالصيغة: $$\text{مساحة} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{الضلع}^2$$ 3. نحسب مساحة المثلث: $$\text{مساحة المثلث} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}$$ 4. الجزء المظلل هو منطقة داخل الدائرة التي تحيط بالمثلث، مع وجود دوائر صغيرة تقطع الدائرة الكبيرة، مما يشير إلى أن المساحة المظللة هي الفرق بين مساحة الدائرة الكبيرة ومساحات الدوائر الصغيرة ومثلث. 5. مساحة الدائرة الكبيرة التي تحيط بالمثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه 12: نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث متطابق الأضلاع: $$R = \frac{\text{الضلع}}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$ 6. مساحة الدائرة الكبيرة: $$\pi R^2 = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \times 16 \times 3 = 48\pi$$ 7. بناءً على الخيارات المعطاة، المساحة المظللة تتضمن تعبيرات من الشكل $a\pi \pm b12\sqrt{3}$. 8. الخيار الأقرب والصحيح هو: $$2\pi - 3 \times 12 \sqrt{3}$$ 9. إذن، مساحة الجزء المظلل هي: $$2\pi - 36\sqrt{3}$$ 10. الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ).