1. **المشكلة 1: مربع بسيط** مربع طول ضلعه 7 سم. **المطلوب:** حساب مساحة المربع. 2. **المشكلة 2: مثلث قائم الزاوية بسيط** مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه القائمين 5 سم و12 سم. **المطلوب:** حساب مساحة المثلث. 3. **المشكلة 3: دائرة بسيطة** دائرة نصف قطرها 10 سم (باستخدام π = 3.14). **المطلوب:** حساب مساحة الدائرة. 4. **المشكلة 4: شكل مركب 1 (مستطيل + نصف دائرة)** مستطيل طوله 16 سم وعرضه 8 سم، ونصف دائرة ملتصقة بأحد ضلعه الطويلة (16 سم) بحيث يكون هذا الضلع قطر نصف الدائرة. **المطلوب:** حساب المساحة الكلية للشكل. 5. **المشكلة 5: شكل مركب 2 (مربع - دائرتان)** مربع طول ضلعه 14 سم، بداخله دائرتان متطابقتان بأكبر قطر ممكن، تلامسان بعضهما البعض وأطراف المربع. **المطلوب:** حساب مساحة المنطقة المظللة (جزء المربع غير المغطى بالدائرتين). 6. **المشكلة 6: شكل مركب 3 (مثلث + نصف دائرة)** مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 12 سم، وعلى أحد أضلاعه نصف دائرة خارجية تستخدم هذا الضلع كقطر. **المطلوب:** حساب المساحة الكلية للشكل (المثلث + نصف الدائرة). 7. **المشكلة 7: شكل مركب متقدم** مربع طول ضلعه $a$. نصف دائرة قطرها $a$ داخل المربع، تشترك في القاعدة مع المربع. عند طرفي القاعدة توجد مثلثات قائمة الزاوية متطابقة بزوايا 30°, 60°, 90°، والضلع المقابل للزاوية 30° على قاعدة نصف الدائرة. **المطلوب أ:** وصف الشكل هندسياً وعلاقة $a$ بأضلاع المثلث 30-60-90. **المطلوب ب:** إذا كان $a=12$ سم، حساب مساحة المنطقة المظللة داخل المربع وخارج المثلثات ونصف الدائرة. --- ### الحلول: 1. مساحة المربع = $a^2 = 7^2 = 49$ سم². 2. مساحة المثلث القائم = $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ سم². 3. مساحة الدائرة = $\pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314$ سم². 4. مساحة المستطيل = $16 \times 8 = 128$ سم². مساحة نصف الدائرة = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 8^2 = 100.48$ سم² (لأن القطر 16، نصف القطر 8). المساحة الكلية = $128 + 100.48 = 228.48$ سم². 5. قطر كل دائرة = نصف ضلع المربع = $\frac{14}{2} = 7$ سم. نصف قطر الدائرة = 3.5 سم. مساحة كل دائرة = $\pi r^2 = 3.14 \times 3.5^2 = 38.465$ سم². مساحة الدائرتين = $2 \times 38.465 = 76.93$ سم². مساحة المربع = $14^2 = 196$ سم². مساحة المنطقة المظللة = $196 - 76.93 = 119.07$ سم². 6. مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \approx 62.35$ سم². نصف قطر نصف الدائرة = $\frac{12}{2} = 6$ سم. مساحة نصف الدائرة = $\frac{1}{2} \times 3.14 \times 6^2 = 56.52$ سم². المساحة الكلية = $62.35 + 56.52 = 118.87$ سم². 7. **أ. الوصف والعلاقة:** - المثلث 30-60-90 أضلاعه نسبة 1 : $\sqrt{3}$ : 2. - القاعدة (الضلع المقابل للزاوية 30°) = $\frac{a}{2}$ لأن القاعدة هي نصف قطر نصف الدائرة. - بالتالي، أضلاع المثلث هي: - الضلع المقابل 30° = $\frac{a}{2}$ - الضلع المقابل 60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - الوتر = $a$ **ب. حساب المساحة عند $a=12$ سم:** - مساحة المربع = $12^2 = 144$ سم². - مساحة نصف الدائرة = $\frac{1}{2} \times 3.14 \times 6^2 = 56.52$ سم². - مساحة مثلث 30-60-90: $= \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \approx 31.18$ سم². - مجموع مساحة المثلثين = $2 \times 31.18 = 62.36$ سم². - المساحة المظللة = مساحة المربع - (مساحة نصف الدائرة + مساحة المثلثين) = $144 - (56.52 + 62.36) = 144 - 118.88 = 25.12$ سم². --- **الإجابات:** 1. 49 2. 30 3. 314 4. 228.48 5. 119.07 6. 118.87 7. أ. أضلاع المثلث 30-60-90 نسبة $\frac{a}{2} : \frac{a\sqrt{3}}{2} : a$ ب. 25.12 --- **وصف الرسم للمشكلة 7:** مربع طول ضلعه 12 سم، نصف دائرة داخل المربع على أحد الأضلاع كقطر، مثلثان قائمان الزاوية 30-60-90 ملتصقان بقاعدة نصف الدائرة عند طرفيها، والزاوية القائمة في المثلثات عند رؤوس المربع المقابلة للقاعدة.