1. **تحديد السؤال:** لدينا دالة ن(س) وهي كثير حدود، ونعلم أن \(\lim_{ن \to س} \frac{ن^2 - 3}{ن - س} = 2\). 2. **صياغة المطلوب:** مطلوب حساب \(\lim_{س \to 3} \frac{ن(س) - س^3}{س - 1}\). 3. **تحليل المعطى الأول:** \(\lim_{ن \to س} \frac{ن^2 - 3}{ن - س} = 2\) يشير إلى وجود دالة يمكن تبسيطها عند \(ن = س\). العبارة \(\frac{ن^2 - 3}{ن - س}\) عند تقريب \(ن \to س\) لا تكون معرفة إلا إذا تم تبسيطها. 4. **تبسيط الحد الأول:** نعوض بشكل عام: \(\lim_{ن \to س} \frac{ن^2 - 3}{ن - س} = 2\). إذا كان ن كثير حدود، فــ\(ن^2-3\) يجب أن يكون قابل للقسمة على \(ن - س\) عند \(ن = س\) بدون باقٍ. 5. **إيجاد قيمة س من المعطى:** ليكون الحد المحدود صحيحاً: تستخدم قاعدة لوبيتال للدلالة على أن: $$\lim_{ن \to س} \frac{ن^2 - 3}{ن - س} = \lim_{ن \to س} \frac{d}{dن}(ن^2 - 3) / \frac{d}{dن}(ن - س) = \lim_{ن \to س} \frac{2ن}{1} = 2س$$ وبما أن هذا يساوي 2 حسب المعطى: $$2س = 2 \implies س = 1$$ 6. **استخدام قيمة س لحساب النهاية المطلوبة:** \(\lim_{س \to 3} \frac{ن(س) - س^3}{س - 1}\). لأن ن كثير حدود، وللحصول على نهاية النهاية موجودة: افترض أن \(ن(س) = س^3 + ك\) حيث ك عدد ثابت. 7. **حساب النهاية:** \(\lim_{س \to 3} \frac{ن(س) - س^3}{س - 1} = \lim_{س \to 3} \frac{(س^3 + ك) - س^3}{س - 1} = \lim_{س \to 3} \frac{ك}{س - 1} = \frac{ك}{3 - 1} = \frac{ك}{2}\). 8. **العلاقة بين ك ون(س) عند س=1:** من المعطى أن س=1: \(\lim_{ن \to 1} \frac{ن^2 - 3}{ن - 1} = 2\) وهذا يساوي: طبقاً للخطوة 5، تحققنا أن س=1. لذلك القيمة \(ن(1)\) من المعادلة التي افترضناها: \(ن(1) = 1^3 + ك = 1 + ك\). 9. **الحصول على ك وفق المعطى:** إذا كانت \(\frac{ن^2 - 3}{ن - 1} = 2\) محدودة، فإن البسط عندما \(ن=1\) يجب أن يكون الصفر: \(1^2 - 3 = -2 \neq 0\)، إذا لا يمكن تبسيطها مباشرة. 10. **فرضية جديدة:** نعيد النظر، على الأرجح السؤال يحوي خطأ كتابي أو يحتاج لتفسير إضافي، لكن من الخيارات المتاحة: الخيارات هي: -14، -10، -6، 0 11. **تخمين الإجابة منطقياً:** عندما يكون المقام \(س - 1\) والقيمة تقترب من س=3، فإن الفرق يكون 2، ويجب أن يكون البسط متناسباً. 12. **الإجابة المختارة:** الإجابة الأكثر منطقية من الخيارات هي -6. **الإجابة النهائية:** $$\boxed{-6}$$