1. بيان المسألة س1: إستنتج البرهان بالمكافئ العكسي لإثبات أن: إذا كان $n^2-6n$ عدد زوجي فإن $n$ عدد زوجي. 2. الحل (برهان بالمكافئ العكسي): سنثبت المكافئ العكسي وهو: إذا كان $n$ فردي فإن $n^2-6n$ فردي. 3. لنفرض $n$ فردي فنكتب $n=2k+1$ حيث $k$ عدد صحيح. 4. نلاحظ أن $n-6$ هو فرق عدد فردي وعدد زوجي فيكون فرديا لأن فردي-زوجي=فردي. 5. إذًا كل من $n$ و $n-6$ فرديان، ومن ثم حاصل ضربهما $n(n-6)$ فردي. 6. وبما أن $n(n-6)=n^2-6n$ فإن $n^2-6n$ فردي عندما يكون $n$ فردي. 7. لذلك المكافئ العكسي صحيح، وبالتبع الأصلية صحيحة، أي إذا كان $n^2-6n$ زوجي فإن $n$ زوجي. 1. بيان المسألة س2: إستنتج البرهان بالتناقض لإثبات أن: إذا كان $n^2+11$ عدد فردي فإن $n$ عدد زوجي. 2. الحل (برهان بالتناقض): نفترض عكس المطلوب أي نفترض أن $n$ فردي ونشتق تناقضا مع فرض أن $n^2+11$ فردي. 3. لنعطِ $n=2k+1$ حيث $k$ عدد صحيح. 4. نحسب $n^2+11=(2k+1)^2+11=4k^2+4k+1+11=4(k^2+k+3)$ وهو عدد قابل للقسمة على 4 وبالتالي عدد زوجي. 5. هذا يتعارض مع فرضية أن $n^2+11$ فردي، إذًا افتراض أن $n$ فردي خطأ. 6. لذا $n$ يجب أن يكون زوجي. 1. بيان المسألة س3: إستنتج البرهان بالمثال المعاكس لإثبات أن العلاقة التالية خاطئة $||x|-|y|| = |x| - |y| , x,y \in \mathbb{R}$. 2. الحل بالمثال المعاكس (مضاد المثال): نأخذ مثالًا بسيطًا لنرى أن العلاقة غير صحيحة في العموم. 3. لو اخترنا $x=0$ و $y=1$ فنحسب الطرفان. 4. نحصل على $||0|-|1||=|0-1|=| -1|=1$. 5. بينما $|0|-|1|=0-1=-1$. 6. إذًا الطرفان مختلفان وهذا يبرهن أن المعادلة غير صحيحة عمومًا، وبذلك المثال المعاكس كافٍ لإثبات الخطأ. 1. بيان المسألة س4: بيّن إذا كان: a) $(p \wedge \neg q) \vee (\neg q \wedge \neg p) \equiv \neg p \Leftrightarrow q$. b) $[(p \rightarrow \neg r) \wedge \neg p] \Rightarrow r \vee \neg p$. 2. حل الجزء a): نبسط الجانب الأيسر باستخدام الخاصية التوزيعية فنحصل على $\neg q \wedge (p \vee \neg p)$. 3. وبما أن $(p \vee \neg p)$ صيغة تائلة تساوي True فتصبح العبارة مساوية لـ $\neg q$. 4. الجانب الأيمن هو $\neg p \Leftrightarrow q$ أي تحقق عندما يكونان لهما نفس القيمة، وهذه ليست مكافئة دائمًا مع $\neg q$. 5. مثال مضاد لإثبات عدم التكافؤ: اختر $p=\text{False}$ و $q=\text{False}$ فنجد الجانب الأيسر $\neg q=\text{True}$. 6. أما $\neg p \Leftrightarrow q$ فتصبح $\text{True} \Leftrightarrow \text{False}=\text{False}$، إذًا ليسا مكافئين. 7. إذًا الجزء a) غير صحيح (ليست مكافئة). 8. حل الجزء b): أولًا نبسط $p \rightarrow \neg r$ إلى $\neg p \vee \neg r$. 9. فنحصل على $(\neg p \vee \neg r) \wedge \neg p$ والذي يساوي ببساطة $\neg p$. 10. إذًا المقدمة تبسط إلى $\neg p$ والنتيجة هي $r \vee \neg p$. 11. عبارة $\neg p \Rightarrow (r \vee \neg p)$ هي دائمًا صحيحة لأن عندما تكون $\neg p$ صحيحة تكون النهاية صحيحة أيضًا. 12. لذلك الجزء b) هو عبارة صحيحة (تاءautology) أي إنها دائمًا محققة. 1. بيان المسألة س5: لتكن $A=\{7,9,11,13\}$ أوجد: P(A), A \times A, أوجد علاقة p1 على A تكون إنعكاسية وغير متناظرة, أوجد علاقة p2 على A تكون متعدية وغير متناظرة, كم عدد العلاقات التي يمكن تكوينها على A. 2. القوة المجموعة (مجموعة جميع الجزئيات): $P(A)=\{\emptyset,\{7\},\{9\},\{11\},\{13\},\{7,9\},\{7,11\},\{7,13\},\{9,11\},\{9,13\},\{11,13\},\{7,9,11\},\{7,9,13\},\{7,11,13\},\{9,11,13\},\{7,9,11,13\}\}$. 3. الضرب الديكارتي $A \times A$ هو كل الأزواج المرتبة من العناصر: $A \times A=\{(7,7),(7,9),(7,11),(7,13),(9,7),(9,9),(9,11),(9,13),(11,7),(11,9),(11,11),(11,13),(13,7),(13,9),(13,11),(13,13)\}$. 4. مثال لعلاقة $p1$ على $A$ تكون إنعكاسية وغير متناظرة: نأخذ جميع الأزواج الذاتية مع إضافة زوج واحد مغاير لاتماثلته. مثال: $p1=\{(7,7),(9,9),(11,11),(13,13),(7,9)\}$. هذه علاقة إنعكاسية لأنها تحتوي كل $(a,a)$ ولكونها تحتوي $(7,9)$ لكن لا تحتوي $(9,7)$ فهي غير متناظرة. 5. مثال لعلاقة $p2$ على $A$ تكون متعدية وغير متناظرة: نأخذ القطر مع بعض الأزواج التي تحقق الاتساق للمتعدية. مثال: $p2=\{(7,7),(9,9),(11,11),(13,13),(7,9),(9,11),(7,11)\}$. هذه متعدية لأن وجود $(7,9)$ و $(9,11)$ مع $(7,11)$ يحافظ على المتعدية، وهي ليست متناظرة لأن مقابلات بعض الأزواج غير موجودة. 6. عدد العلاقات الممكنة على $A$: بما أن هناك $|A|^2=4^2=16$ زوجًا مرتبًا ممكنًا فإن عدد كل العلاقات يساوي $2^{16}=65536$. 1. بيان المسألة س6: أوجد المصفوفة $M_{3\times 3}$ والتي عناصرها $m_{ij}$ تعطى من العلاقة التالية: $m_{ij}=i^{ن}-i\cdot j+1$. 2. الحل: نأخذ $i,j\in\{1,2,3\}$ ونحسب كل عنصر. 3. لصف i=1 نحصل على $m_{11}=1^{ن}-1\cdot1+1=1^{ن}$. 4. ونحصل على $m_{12}=1^{ن}-1\cdot2+1=0$. 5. و $m_{13}=1^{ن}-1\cdot3+1=-1$. 6. لصف i=2 نحصل على $m_{21}=2^{ن}-2\cdot1+1=2^{ن}-1$. 7. و $m_{22}=2^{ن}-2\cdot2+1=2^{ن}-3$. 8. و $m_{23}=2^{ن}-2\cdot3+1=2^{ن}-5$. 9. لصف i=3 نحصل على $m_{31}=3^{ن}-3\cdot1+1=3^{ن}-2$. 10. و $m_{32}=3^{ن}-3\cdot2+1=3^{ن}-5$. 11. و $m_{33}=3^{ن}-3\cdot3+1=3^{ن}-8$. 12. بالتالي المصفوفة هي: $M=\begin{pmatrix}1^{ن} & 0 & -1 \\ 2^{ن}-1 & 2^{ن}-3 & 2^{ن}-5 \\ 3^{ن}-2 & 3^{ن}-5 & 3^{ن}-8\end{pmatrix}$.