1. **المشكلة:** لدينا مصفوفة $3 \times 3$ ونريد إيجاد القيم الذاتية وأشعتها. 2. نأخذ مثالاً على المصفوفة: $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{pmatrix}$$ 3. لإيجاد القيم الذاتية، نستخدم معادلة المحدد $\det(A - \lambda I)=0$ حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة و$\lambda$ هو القيمة الذاتية. 4. نحسب $A - \lambda I$: $$A - \lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 4 \\ 0 & 4 & 9-\lambda\end{pmatrix}$$ 5. نحسب المحدد: $$\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \times \det \begin{pmatrix}3 - \lambda & 4 \\ 4 & 9 - \lambda \end{pmatrix}$$ 6. المحدد الفرعي هو: $$(3 - \lambda)(9 - \lambda) - 4 \times 4 = (3-\lambda)(9-\lambda) - 16$$ 7. إذن المعادلة تصبح: $$(2 - \lambda) [(3 - \lambda)(9 - \lambda) - 16] = 0$$ 8. نحسب الضرب الداخلي: $$(3 - \lambda)(9 - \lambda) = 27 - 3\lambda - 9\lambda + \lambda^2 = 27 - 12\lambda + \lambda^2$$ 9. إذن التعبير يصبح: $$ (2 - \lambda)(\lambda^2 - 12\lambda + 27 - 16) = (2 - \lambda)(\lambda^2 - 12\lambda + 11) = 0 $$ 10. المعادلة النهائية هي: $$ (2 - \lambda)(\lambda^2 - 12\lambda + 11) = 0 $$ 11. نوجد الجذور: - من $(2 - \lambda) = 0$ نجد $\lambda = 2$ - نحل المعادلة التربيعية $$\lambda^2 - 12 \lambda + 11 = 0$$ 12. باستخدام القانون التربيعي: $$\lambda = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \times 1 \times 11}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{12 \pm 10}{2}$$ 13. الجذور: - $$\lambda_1 = \frac{12 + 10}{2} = 11$$ - $$\lambda_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1$$ 14. إذن القيم الذاتية هي: $$\lambda = 2, 11, 1$$ 15. **الأشعة:** لأن المصفوفة مربعة، الأشعة تُحسب بقيمة تتبع مصفوفة $A$، وهي مجموع القيم الذاتية: $$\text{trace}(A) = \sum \lambda_i = 2 + 11 + 1 = 14$$ **النتيجة النهائية:** - القيم الذاتية: $2, 11, 1$ - الأشعة: $14$