1. Задачата: Дадени са уравненията $v - u = 7$ и $uv = -3$. Трябва да намерим стойността на израза $u^2 + v^2$. 2. Използваме формулата за сума на квадрати чрез сума и произведение: $$u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv$$ 3. От даденото $v - u = 7$ можем да изразим $v = u + 7$. 4. Замествайки във второто уравнение: $$u(u + 7) = -3 \Rightarrow u^2 + 7u = -3$$ 5. Пренареждаме: $$u^2 + 7u + 3 = 0$$ 6. Решаваме квадратно уравнение за $u$ с дискриминанта: $$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$$ 7. Корените са: $$u = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{2}$$ 8. Сумата $u + v = u + (u + 7) = 2u + 7$. 9. Изчисляваме $(u + v)^2$: $$ (2u + 7)^2 = 4u^2 + 28u + 49$$ 10. Използваме уравнението $u^2 + 7u + 3 = 0$ за да изразим $4u^2 + 28u$: умножаваме цялото уравнение по 4: $$4u^2 + 28u + 12 = 0 \Rightarrow 4u^2 + 28u = -12$$ 11. Следователно: $$(u + v)^2 = -12 + 49 = 37$$ 12. Накрая изчисляваме: $$u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv = 37 - 2(-3) = 37 + 6 = 43$$ Отговор: А) 43