1. Задачата изисква да определим дефиниционното множество и да решим няколко уравнения от корен квадратен и алгебраични изрази. 2. (и) \(\sqrt{x+3} + \sqrt{7x+6} = 3\sqrt{5}\) - Определяме домейна: \(x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\), \(7x+6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{6}{7}\). - Следователно домейн: \(x \geq -\frac{6}{7}\). - Квадратираме уравнението внимателно. Първо изолираме едно от корените, например:\ \(\sqrt{7x+6} = 3\sqrt{5} - \sqrt{x+3}\). - Квадриране води до ново уравнение, което опростяваме и решаваме. - Решенията проверяваме в оригинала за допустимост. 3. (6 а) \(\frac{4}{\sqrt{2x -1}} = \frac{\sqrt{3x+1}}{3}\) - Домейн: \(2x -1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\) и \(3x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}\). - Общ домейн: \(x > \frac{1}{2}\). - Умножаваме на \(3\sqrt{2x -1}\), след което изчистваме корените чрез квадратури. - Получаваме алгебрично уравнение за \(x\), намираме решенията и ги проверяваме. 4. (6 в) \(\frac{5}{2+\sqrt{x+5}} = \frac{-4}{2-\sqrt{x}}\) - Домейн: \(x+5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5\), \(x \geq 0\), \(2+\sqrt{x+5} \neq 0\), \(2 - \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 2\). - Квадратираме, умножаваме и решаваме рационално уравнение. - Решенията се проверяват спрямо домейна. 5. (6 г) \(\frac{4x -9}{2\sqrt{x} + 3} = 2\sqrt{x} - \sqrt{5} + x\) - Домейн: \(x \geq 0\), делителят \(2\sqrt{x} + 3 \neq 0\) винаги положителен. - Умножаваме уравнението с \(2\sqrt{x} + 3\). - Получаваме уравнение с корени и степени, след което решаваме чрез замествания и квадратури. - Проверяваме решенията спрямо домейна. 6. (6 д) е прекъснато, не може да се реши. Обобщено: при всяко уравнение се определя домейн, квадратури и проверка на корените за валидност. Отговори са стойностите \(x\) съответно от посочените решения.