1. **Δ1 α)** Δίνεται η εξίσωση: $$f^2(x) - 2xf(x) + 2x^2 = 1$$ για κάθε $$x \in [-1,1]$$ και $$f(0) = 1$$. 2. Αναγνωρίζουμε ότι η εξίσωση είναι τετραγωνική ως προς $$f(x)$$: $$f^2(x) - 2x f(x) + 2x^2 - 1 = 0$$ 3. Χρησιμοποιούμε τον τύπο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης: $$f(x) = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2x^2 - 1)}}{2} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 8x^2 + 4}}{2} = \frac{2x \pm \sqrt{4 - 4x^2}}{2}$$ 4. Απλοποιούμε το ριζικό: $$\sqrt{4 - 4x^2} = 2\sqrt{1 - x^2}$$ 5. Άρα: $$f(x) = \frac{2x \pm 2\sqrt{1 - x^2}}{2} = x \pm \sqrt{1 - x^2}$$ 6. Χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη $$f(0) = 1$$: $$f(0) = 0 \pm \sqrt{1 - 0} = \pm 1$$ Επειδή $$f(0) = 1$$, επιλέγουμε το θετικό πρόσημο: $$f(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$$ --- 7. **Δ1 β)** Να δείξουμε ότι η εξίσωση $$f(x) = 0$$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $$(-1,1)$$, όπου $$f(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$$. 8. Εξετάζουμε τις τιμές στα άκρα του διαστήματος: - Για $$x = -1$$: $$f(-1) = -1 + \sqrt{1 - 1} = -1 + 0 = -1 < 0$$ - Για $$x = 1$$: $$f(1) = 1 + \sqrt{1 - 1} = 1 + 0 = 1 > 0$$ 9. Η συνάρτηση $$f(x)$$ είναι συνεχής στο $$[-1,1]$$ (είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων). 10. Σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Bolzano), επειδή $$f(-1) < 0$$ και $$f(1) > 0$$, υπάρχει τουλάχιστον ένα $$c \in (-1,1)$$ τέτοιο ώστε $$f(c) = 0$$. --- **Τελική απάντηση:** α) $$f(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$$ β) Η εξίσωση $$f(x) = 0$$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $$(-1,1)$$ λόγω του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.