1. Το πρόβλημα ζητά να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(x) = x^2 - \cos x$ έχει ακριβώς δύο ρίζες. 2. Για να βρούμε τις ρίζες μιας συνάρτησης, ψάχνουμε τις τιμές του $x$ για τις οποίες $f(x) = 0$. 3. Η εξίσωση γίνεται: $$x^2 - \cos x = 0 \implies x^2 = \cos x$$ 4. Παρατηρούμε ότι $x^2$ είναι πάντα μη αρνητικό και αυξάνεται γρήγορα, ενώ $\cos x$ κυμαίνεται μεταξύ $-1$ και $1$. 5. Εξετάζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης $f(x)$ για μεγάλες τιμές του $|x|$: - Όταν $x \to +\infty$, $x^2 \to +\infty$ και $\cos x$ παραμένει μεταξύ $-1$ και $1$, άρα $f(x) = x^2 - \cos x \to +\infty$. - Όταν $x \to -\infty$, το ίδιο ισχύει, $f(x) \to +\infty$. 6. Εξετάζουμε τη συμπεριφορά κοντά στο 0: - $f(0) = 0^2 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 < 0$ 7. Εξετάζουμε σημεία κοντά στο 0 για να βρούμε αλλαγές πρόσημου: - $f(1) = 1^2 - \cos 1 \approx 1 - 0.5403 = 0.4597 > 0$ - $f(-1) = (-1)^2 - \cos(-1) = 1 - 0.5403 = 0.4597 > 0$ 8. Από το θεώρημα Bolzano, αφού $f(0) < 0$ και $f(1) > 0$, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,1)$. 9. Ομοίως, αφού $f(0) < 0$ και $f(-1) > 0$, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(-1,0)$. 10. Για να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες, εξετάζουμε το παράγωγο: $$f'(x) = 2x + \sin x$$ 11. Παρατηρούμε ότι για $x > 0$, $2x > 0$ και $\sin x > 0$ για μικρά $x$, άρα $f'(x) > 0$ για $x > 0$ μικρό. 12. Για μεγάλα $x$, το $2x$ κυριαρχεί και το $f'(x) > 0$, άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα για $x > 0$. 13. Αντίστοιχα, για $x < 0$, το $2x < 0$ αλλά $\sin x$ είναι αρνητικό ή θετικό, όμως η συνάρτηση $f'(x)$ έχει ακριβώς ένα μηδενικό και η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα για $x < 0$. 14. Συμπερασματικά, η $f$ έχει ακριβώς δύο σημεία όπου τέμνει τον άξονα $x$, δηλαδή δύο ρίζες, μία στο αρνητικό και μία στο θετικό διάστημα κοντά στο 0. 15. Άρα, αποδείξαμε ότι η συνάρτηση $f(x) = x^2 - \cos x$ έχει ακριβώς δύο ρίζες.