1. Planteamos el problema: Dada la matriz aumentada dependiente de $t \in \mathbb{Z}$: $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 3 & t & | & 2 \\ 0 & 0 & t-1 & | & 1 \end{bmatrix}$$ Queremos encontrar cuántos valores enteros $t$ en el intervalo $[-4,6]$ producen un sistema consistente con solución única. 2. Para que un sistema lineal tenga solución única, la matriz de coeficientes debe ser invertible, es decir, su determinante debe ser distinto de cero. 3. La matriz de coeficientes es la matriz $3 \times 3$: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & t \\ 0 & 0 & t-1 \end{bmatrix}$$ 4. Como $A$ es triangular superior, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$\det(A) = 1 \times 3 \times (t-1) = 3(t-1)$$ 5. Para que el sistema tenga solución única, necesitamos: $$\det(A) \neq 0 \implies 3(t-1) \neq 0 \implies t-1 \neq 0 \implies t \neq 1$$ 6. Ahora, consideramos los valores enteros $t$ en $[-4,6]$ excluyendo $t=1$. Los enteros en $[-4,6]$ son: $$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$$ Excluyendo $t=1$, quedan 10 valores. 7. Por lo tanto, hay 10 valores enteros de $t$ en $[-4,6]$ que producen un sistema consistente con solución única. **Respuesta final:** 10