1. El problema nos pide determinar el t\'ermino constante del desarrollo del producto $ (2x^2+1)(x-\frac{2}{x})^4 $.\n\n2. Primero recordemos que el t\'ermino constante es aquel que no tiene ninguna potencia de $x$, es decir, el exponente total de $x$ debe ser cero.\n\n3. Expandamos el segundo factor usando el binomio de Newton: $$ (x - \frac{2}{x})^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^{4-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k x^{4-k-k} = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k x^{4-2k} $$\n\n4. Ahora el producto completo es: $$ (2x^2 + 1) \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k x^{4-2k} = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k (2x^2 + 1) x^{4-2k} $$\n\n5. Distribuyendo dentro de la sumatoria: $$ \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k \left( 2x^{2 + 4 - 2k} + x^{4 - 2k} \right) = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (-2)^k \left( 2x^{6 - 2k} + x^{4 - 2k} \right) $$\n\n6. El t\'ermino constante es aquel cuyo exponente en $x$ es cero. Busquemos los $k$ tales que $6 - 2k = 0$ o $4 - 2k = 0$.\n\n- Para $6 - 2k = 0 \Rightarrow k=3$.\n- Para $4 - 2k = 0 \Rightarrow k=2$.\n\n7. Evaluemos los t\'erminos para estos valores de $k$.\n\nPara $k=3$: $$ \binom{4}{3} (-2)^3 2 x^0 = 4 \cdot (-8) \cdot 2 = -64 $$\n\nPara $k=2$: $$ \binom{4}{2} (-2)^2 x^0 = 6 \cdot 4 = 24 $$\n\n8. Sumamos los t\'erminos constantes para obtener el resultado final: $$ -64 + 24 = -40 $$\n\n\nRespuesta: El t\'ermino constante del desarrollo es $-40$.