1. Plantear las inecuaciones: - $2 + x \geq 4$ - $2x \leq x - 5$ - $x > x + 2$ - $3x \geq 5x + 8$ - $\frac{x^2 - 9}{x - 1} \leq 0$ - $\frac{x + 1}{x^2 - 4} \geq 0$ 2. Resolver cada inecuación una por una. --- **A.** $2 + x \geq 4$ 1. Restamos 2 a ambos lados: $$x \geq 4 - 2$$ 2. Simplificamos: $$x \geq 2$$ **Solución:** $[2, \infty)$ --- **B.** $2x \leq x - 5$ 1. Restamos $x$ a ambos lados: $$2x - x \leq -5$$ 2. Simplificamos: $$x \leq -5$$ **Solución:** $(-\infty, -5]$ --- **C.** $x > x + 2$ 1. Restamos $x$ a ambos lados: $$0 > 2$$ 2. Esto es falso, no existe solución. **Solución:** $\varnothing$ --- **D.** $3x \geq 5x + 8$ 1. Restamos $5x$ a ambos lados: $$3x - 5x \geq 8$$ 2. Simplificamos: $$-2x \geq 8$$ 3. Dividimos entre $-2$ y cambiamos sentido de la desigualdad: $$x \leq -4$$ **Solución:** $(-\infty, -4]$ --- **E.** $\frac{x^2 - 9}{x - 1} \leq 0$ 1. Factorizamos el numerador: $$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1} \leq 0$$ 2. Encontramos los valores críticos: $x= -3, 1, 3$ 3. Estudiamos signos en intervalos: - $(-\infty, -3)$: Numerador (+)(-)=(-), denominador (-), total (+) - $(-3, 1)$: Numerador (+)(+)= (+), denominador (-), total (-) - $(1, 3)$: Numerador (+)(+)= (+), denominador (+), total (+) - $(3, \infty)$: Numerador (+)(+)= (+), denominador (+), total (+) 4. Queremos donde la fracción sea $\leq 0$, o sea negativa o cero. 5. La fracción no está definida en $x=1$, y es cero en $x=-3$ y $x=3$. **Solución:** $[-3, 1)$ --- **F.** $\frac{x + 1}{x^2 - 4} \geq 0$ 1. Factorizamos denominador: $$\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0$$ 2. Valores críticos: $x = -1, 2, -2$ 3. Estudiamos signos: - $(-\infty, -2)$: Numerador (-), Denominador (+)(-)=(-), total (+) - $(-2, -1)$: Numerador (-), Denominador (-)(-)= (+), total (-) - $(-1, 2)$: Numerador (+), Denominador (-)(+)= (-), total (-) - $(2, \infty)$: Numerador (+), Denominador (+)(+)= (+), total (+) 4. Buscamos donde es $\geq 0$, incluye ceros en $x=-1$. 5. La función no está definida en $x=\pm 2$. **Solución:** $(-\infty, -2) \cup \{-1\} \cup (2, \infty)$ --- **Notación de conjuntos para las soluciones:** - A. $\{x \in \mathbb{R} : x \geq 2\}$ - B. $\{x \in \mathbb{R} : x \leq -5\}$ - C. $\varnothing$ - D. $\{x \in \mathbb{R} : x \leq -4\}$ - E. $\{x \in \mathbb{R} : -3 \leq x < 1\}$ - F. $\{x \in \mathbb{R} : x < -2\} \cup \{x = -1\} \cup \{x > 2\}$ --- **Descripciones para graficar en la recta numérica:** - A: Continua desde 2 hacia la derecha, con inclusión en 2. - B: Continua desde -5 hacia la izquierda, con inclusión en -5. - C: Sin solución. - D: Continua desde -4 hacia la izquierda, con inclusión en -4. - E: Continua desde -3 a 1, con inclusión en -3 y exclusión en 1. - F: Intervalos $(-\infty, -2)$, punto $-1$, y $(2, \infty)$.