1. Vamos a resolver cada sistema de ecuaciones lineales paso a paso. 2. Para el primer sistema: $$7(2x - 5y) = 7(-12)$$ $$-2(7x - 2y) = -2(-11)$$ Simplificamos: $$14x - 35y = -84$$ $$-14x + 4y = 22$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $x$: $$(-35y + 4y) = -84 + 22$$ $$-31y = -62$$ $$y = \frac{-62}{-31} = 2$$ Sustituimos $y=2$ en la primera ecuación: $$14x - 35(2) = -84$$ $$14x - 70 = -84$$ $$14x = -14$$ $$x = -1$$ 3. Para el segundo sistema: $$12 - 2(12 - 2) = 3(-2) - 2$$ Simplificamos ambos lados: $$12 - 2(10) = -6 - 2$$ $$12 - 20 = -8$$ $$-8 = -8$$ Esto es una identidad, por lo que la ecuación es verdadera para cualquier valor. 4. Para el tercer sistema: $$\begin{cases} \frac{2(x + 4)}{3} - \frac{y}{2} = \frac{9}{2} \\ x + 2y - \frac{1}{3}(3x - 2) = -\frac{4}{3} \end{cases}$$ Simplificamos la segunda ecuación: $$x + 2y - (x - \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$$ $$x + 2y - x + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$2y + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$2y = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -2$$ $$y = -1$$ Sustituimos $y=-1$ en la primera ecuación: $$\frac{2(x + 4)}{3} - \frac{-1}{2} = \frac{9}{2}$$ $$\frac{2(x + 4)}{3} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$ Multiplicamos todo por 6 para eliminar denominadores: $$4(x + 4) + 3 = 27$$ $$4x + 16 + 3 = 27$$ $$4x + 19 = 27$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ 5. Para el cuarto sistema: $$\begin{cases} 2x - \frac{1}{2} + y - 1 = \frac{11}{6} \\ \frac{2x}{5} + y - \frac{1}{10} = \frac{6}{5} \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación: $$2x + y - \frac{3}{2} = \frac{11}{6}$$ Pasamos términos constantes: $$2x + y = \frac{11}{6} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6} + \frac{9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$ La segunda ecuación: $$\frac{2x}{5} + y = \frac{6}{5} + \frac{1}{10} = \frac{12}{10} + \frac{1}{10} = \frac{13}{10}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para igualar coeficientes de $y$: $$\frac{6x}{5} + 3y = \frac{39}{10}$$ Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$6x + 3y = 10$$ Restamos la segunda de la primera: $$6x + 3y - \left(\frac{6x}{5} + 3y\right) = 10 - \frac{39}{10}$$ $$6x - \frac{6x}{5} = 10 - 3.9$$ $$\frac{30x - 6x}{5} = 6.1$$ $$\frac{24x}{5} = 6.1$$ $$x = \frac{6.1 \times 5}{24} = \frac{30.5}{24} = \frac{61}{48}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$2 \times \frac{61}{48} + y = \frac{10}{3}$$ $$\frac{122}{48} + y = \frac{10}{3}$$ $$y = \frac{10}{3} - \frac{122}{48} = \frac{160}{48} - \frac{122}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}$$ 6. Para el quinto sistema: $$\begin{cases} \frac{2(x + 1)}{3} - y = -3 \\ 3(x + 5 - y) + 3x = 12 \end{cases}$$ Simplificamos la segunda ecuación: $$3x + 15 - 3y + 3x = 12$$ $$6x - 3y = -3$$ Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$2(x + 1) - 3y = -9$$ $$2x + 2 - 3y = -9$$ $$2x - 3y = -11$$ Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} 2x - 3y = -11 \\ 6x - 3y = -3 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación de la segunda: $$6x - 3y - (2x - 3y) = -3 - (-11)$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$2(2) - 3y = -11$$ $$4 - 3y = -11$$ $$-3y = -15$$ $$y = 5$$ 7. Para las expresiones algebraicas con fracciones y potencias, se recomienda simplificar cada término usando las propiedades de exponentes y factorización, por ejemplo: $$\frac{h^3 + 1}{h^2 - h} : \frac{h^3 - h^2 + h}{h^2 - 2h + 1}$$ Se puede reescribir como multiplicación por el inverso y factorizar numeradores y denominadores para simplificar. 8. En resumen, los valores encontrados para los sistemas lineales son: - Primer sistema: $x = -1$, $y = 2$ - Segundo sistema: identidad verdadera - Tercer sistema: $x = 2$, $y = -1$ - Cuarto sistema: $x = \frac{61}{48}$, $y = \frac{19}{24}$ - Quinto sistema: $x = 2$, $y = 5$ Estos pasos muestran cómo resolver sistemas lineales y simplificar expresiones algebraicas con fracciones y potencias.