1. Enunciado: Resuelve los ejercicios planteados: sistemas de ecuaciones lineales y simplificaciones de expresiones racionales. 2. Reglas y fórmulas: para sistemas lineales se usan los métodos de eliminación o sustitución. 3. Regla para fracciones y divisiones de fracciones: $\text{Si }\frac{A}{B} : \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$ y siempre se deben anotar las restricciones de dominio (valores que anulan denominadores). 4. Problema 1: Resolver el sistema $7(2x-5y)=7(-12)$ y $-2(7x-2y)=-2(-11)$. 5. Simplifico cada ecuación dividiendo por los factores comunes: $2x-5y=-12$ y $7x-2y=11$. 6. Uso eliminación: multiplico la primera por 2 y la segunda por 5 para igualar coeficientes de $y$. 7. De la primera: $4x-10y=-24$. 8. De la segunda: $35x-10y=55$. 9. Resto las ecuaciones: $31x=79$ y $x=\frac{79}{31}$. 10. Sustituyo en $7x-2y=11$: $7\cdot\frac{79}{31}-2y=11$. 11. Calculando: $\frac{553}{31}-2y=\frac{341}{31}$, luego $2y=\frac{212}{31}$ y $y=\frac{106}{31}$. 12. Solución P1: $(x,y)=\left(\frac{79}{31},\frac{106}{31}\right)$. 13. Problema 2: Verificar la igualdad $12-2(12-2)=3(-2)-2$. 14. Calculo lado izquierdo: $12-2(10)=12-20=-8$. 15. Calculo lado derecho: $3(-2)-2=-6-2=-8$. 16. Conclusión P2: La igualdad se cumple. 17. Problema 3: Calcular $\frac{12}{3}+\frac{-2}{2}$ y comprobar si es $3$. 18. Calculo: $\frac{12}{3}+\frac{-2}{2}=4-1=3$. 19. Conclusión P3: La igualdad se cumple. 20. Problema 4: Resolver el sistema $\displaystyle 2\frac{(x+4)}{3}-\frac{y}{2}=\frac{9}{2}$ y $x+2y-\frac{1}{3}(3x-2)=-\frac{4}{3}$. 21. Simplifico la segunda ecuación: $\frac{1}{3}(3x-2)=x-\frac{2}{3}$, así $x+2y-(x-\frac{2}{3})=2y+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$. 22. De ahí $2y=-2$ y $y=-1$. 23. Sustituyo en la primera: $\displaystyle 2\frac{(x+4)}{3}+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$, entonces $2\frac{(x+4)}{3}=4$. 24. Multiplico por 3: $2(x+4)=12$, $x+4=6$, $x=2$. 25. Solución P4: $(x,y)=(2,-1)$. 26. Problema 5: Resolver el sistema $2x-\tfrac{1}{2}+y-\tfrac{3}{3}=\tfrac{11}{6}$ y $\tfrac{2x}{5}+y-\tfrac{1}{10}=\tfrac{6}{5}$. 27. Simplifico la primera: $2x+y-\tfrac{3}{2}=\tfrac{11}{6}$, luego $2x+y=\tfrac{11}{6}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{10}{3}$. 28. De la segunda: $\tfrac{2x}{5}+y=\tfrac{6}{5}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{13}{10}$ y multiplicando por 10 da $4x+10y=13$. 29. Sustituyo $y=\tfrac{10}{3}-2x$ en $4x+10y=13$: $4x+10(\tfrac{10}{3}-2x)=13$. 30. Esto lleva a $4x+\tfrac{100}{3}-20x=13$, es decir $-16x= -\tfrac{61}{3}$ y $x=\tfrac{61}{48}$. 31. Luego $y=\tfrac{10}{3}-2\cdot\tfrac{61}{48}=\tfrac{19}{24}$. 32. Solución P5: $(x,y)=\left(\tfrac{61}{48},\tfrac{19}{24}\right)$. 33. Problema 6: Resolver $\displaystyle 2\frac{(x+1)}{3}-y=-3$ y $3(x+5-y)+3x=12$. 34. Simplifico la segunda: $3x+15-3y+3x=12$ da $6x-3y=-3$ o $2x-y=-1$. 35. De la primera: $2(x+1)-3y=-9$ tras multiplicar por 3, es decir $2x-3y=-11$. 36. Restando las ecuaciones obtengo $-2y=-10$ y $y=5$, luego $2x-5=-1$ da $x=2$. 37. Solución P6: $(x,y)=(2,5)$. 38. Problema 7: Simplificar $\displaystyle\frac{h^3+1}{h^2-h} : \frac{h^3-h^2+h}{h^2-2h+1}$. 39. Factorizo: $h^3+1=(h+1)(h^2-h+1)$ y $h^2-h=h(h-1)$; además $h^3-h^2+h=h(h^2-h+1)$ y $h^2-2h+1=(h-1)^2$. 40. División y cancelaciones dan $\displaystyle \frac{(h+1)(h^2-h+1)}{h(h-1)}\cdot\frac{(h-1)^2}{h(h^2-h+1)}=\frac{(h+1)(h-1)}{h^2}=\frac{h^2-1}{h^2}$. 41. Restricciones: $h\neq 0,1$. 42. Problema 8: Simplificar $\displaystyle\frac{a^2-2bc-b^2-c^2}{a^2-c^2-b^2+2bc} : \frac{a+b+c}{a-b+c}$. 43. Reescribo numeradores como diferencias de cuadrados: $a^2-(b+c)^2=(a-b-c)(a+b+c)$ y $a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c)$. 44. Al dividir por $\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ se obtiene $\displaystyle \frac{(a-b-c)(a+b+c)}{(a-b+c)(a+b-c)}\cdot\frac{a-b+c}{a+b+c}=\frac{a-b-c}{a+b-c}$. 45. Restricciones: $a+b+c\neq 0$, $a-b+c\neq 0$, $a+b-c\neq 0$. 46. Problema 9: Simplificar la cadena $\displaystyle\frac{a^2-4a-5}{a^2+2a-8} : \frac{a^2-3a-10}{a^2+a-12} : \frac{a^2-2a-3}{a^2-4}$. 47. Factorizo cada polinomio: $a^2-4a-5=(a-5)(a+1)$, $a^2+2a-8=(a+4)(a-2)$, $a^2-3a-10=(a-5)(a+2)$, $a^2+a-12=(a+4)(a-3)$, $a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$, $a^2-4=(a-2)(a+2)$. 48. Tras multiplicar por las inversas y cancelar factores se obtiene $1$. 49. Restricciones: $a\neq -4,\,2,\,3,\,-2$ (valores que anulan denominadores originales). 50. Problema 10: Simplificar $\displaystyle\frac{a^2 b^4+2a^2}{b^4+b^3} : \frac{b^4-7b^2-18}{b^4-4b^2+3} : \frac{a^2 b^4-2a^2 b^2-3a^2}{b^4-8b^2-9}$. 51. Factorizo por bloques usando $t=b^2$: primer numerador $a^2(b^4+2)$ y denominador $b^3(b+1)$. 52. Segundo: $b^4-7b^2-18=(b^2-9)(b^2+2)=(b-3)(b+3)(b^2+2)$ y $b^4-4b^2+3=(b^2-1)(b^2-3)=(b-1)(b+1)(b^2-3)$. 53. Tercero: $a^2(b^4-2b^2-3)=a^2(b^2-3)(b^2+1)$ y $b^4-8b^2-9=(b^2-9)(b^2+1)=(b-3)(b+3)(b^2+1)$. 54. Multiplicando y cancelando factores (incluidos $a^2$ cuando corresponde) queda $\displaystyle \frac{(b-1)(b^4+2)}{b^3(b^2+2)}$. 55. Restricciones (no anular denominadores originales): $b\neq 0,-1,\pm 3,\pm 1$ (y excluir valores que anulen factores $b^2+2$, $b^2+1$ si se trabaja sobre complejos según corresponda). 56. Problema 11: Simplificar $\displaystyle\frac{x^3-xy^2}{x^3+y^3} : \frac{x^2-xy+y^2}{x^2-xy} : \frac{x^2+2xy+4y^2}{x^3-8y^3}$. 57. Factorizo: $x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y)$ y $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. 58. Así la primera fracción es $\displaystyle \frac{x(x-y)}{x^2-xy+y^2}$. 59. La segunda es $\displaystyle \frac{x^2-xy+y^2}{x^2-xy}$ y la tercera tiene $x^3-8y^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$, por lo que la tercera fracción es $\displaystyle \frac{x^2+2xy+4y^2}{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}=\frac{1}{x-2y}$. 60. Realizando las divisiones y cancelaciones se obtiene $\displaystyle \frac{x^2(x-y)^2(x-2y)}{(x^2-xy+y^2)^2}$. 61. Restricciones: $x\neq -y$, $x\neq 0$, $x\neq y$, $x\neq 2y$, y evitar $(x,y)=(0,0)$ que anula expresiones cuadráticas en denominador. 62. Resumen final: se han resuelto 11 problemas independientes y se han dado soluciones y simplificaciones con sus restricciones de dominio.