1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - y = -2 \end{cases}$$ 2. **Método de igualación:** Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones. 3. Despejamos $x$ en la primera ecuación: $$x = 3 + 3y$$ 4. Despejamos $x$ en la segunda ecuación: $$2x - y = -2 \Rightarrow 2x = y - 2 \Rightarrow x = \frac{y - 2}{2}$$ 5. Igualamos las dos expresiones de $x$: $$3 + 3y = \frac{y - 2}{2}$$ 6. Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador: $$2(3 + 3y) = y - 2 \Rightarrow 6 + 6y = y - 2$$ 7. Restamos $y$ y 6 de ambos lados: $$6y - y = -2 - 6 \Rightarrow 5y = -8$$ 8. Despejamos $y$: $$y = \frac{-8}{5}$$ 9. Sustituimos $y$ en $x = 3 + 3y$: $$x = 3 + 3 \times \left(\frac{-8}{5}\right) = 3 - \frac{24}{5} = \frac{15}{5} - \frac{24}{5} = \frac{-9}{5}$$ 10. **Solución:** $$\boxed{\left(x, y\right) = \left(\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}\right)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} x - 1 = y + 1 \\ x - 3 = 3y - 7 \end{cases}$$ 2. Simplificamos ambas ecuaciones: $$x - 1 = y + 1 \Rightarrow x - y = 2$$ $$x - 3 = 3y - 7 \Rightarrow x - 3y = -4$$ 3. Despejamos $x$ de la primera ecuación: $$x = y + 2$$ 4. Sustituimos en la segunda: $$y + 2 - 3y = -4 \Rightarrow -2y + 2 = -4$$ 5. Restamos 2: $$-2y = -6$$ 6. Despejamos $y$: $$y = 3$$ 7. Sustituimos $y$ en $x = y + 2$: $$x = 3 + 2 = 5$$ 8. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (5,3)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - 6y = 6 \end{cases}$$ 2. Observamos que la segunda ecuación es el doble de la primera: $$2(x - 3y) = 2 \times 3 \Rightarrow 2x - 6y = 6$$ 3. Esto indica que las dos ecuaciones son dependientes y representan la misma recta. 4. Por lo tanto, hay infinitas soluciones que satisfacen: $$x - 3y = 3 \Rightarrow x = 3 + 3y$$ 5. **Solución:** $$\boxed{\text{Infinitas soluciones: } (x,y) = (3 + 3y, y), \quad y \in \mathbb{R}}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} \frac{x - 2y}{3} - \frac{x - 2y}{6} = \frac{2}{3} \\ \frac{x - 3y}{6} = \frac{1}{3} \end{cases}$$ 2. Simplificamos la primera ecuación: $$\frac{x - 2y}{3} - \frac{x - 2y}{6} = \frac{2}{3}$$ 3. Encontramos común denominador 6: $$\frac{2(x - 2y)}{6} - \frac{x - 2y}{6} = \frac{2}{3}$$ 4. Simplificamos numerador: $$\frac{2(x - 2y) - (x - 2y)}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x - 2y}{6} = \frac{2}{3}$$ 5. Multiplicamos ambos lados por 6: $$x - 2y = 4$$ 6. Segunda ecuación: $$\frac{x - 3y}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow x - 3y = 2$$ 7. Sistema equivalente: $$\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 3y = 2 \end{cases}$$ 8. Restamos segunda ecuación de la primera: $$(x - 2y) - (x - 3y) = 4 - 2 \Rightarrow -2y + 3y = 2 \Rightarrow y = 2$$ 9. Sustituimos $y=2$ en $x - 2y = 4$: $$x - 4 = 4 \Rightarrow x = 8$$ 10. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (8,2)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} 2x + 1 = y \\ 3y - 6x = 4 \end{cases}$$ 2. Despejamos $y$ de la primera ecuación: $$y = 2x + 1$$ 3. Sustituimos en la segunda: $$3(2x + 1) - 6x = 4 \Rightarrow 6x + 3 - 6x = 4$$ 4. Simplificamos: $$3 = 4$$ 5. Esto es una contradicción, por lo que el sistema no tiene solución. 6. **Solución:** $$\boxed{\text{No hay solución}}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} \frac{3x + 1}{6} = \frac{2y - 5}{3} \\ 2(x - y) = y - 8 \end{cases}$$ 2. Multiplicamos la primera ecuación por 6 para eliminar denominadores: $$3x + 1 = 2 \times (2y - 5) = 4y - 10$$ 3. Reordenamos: $$3x + 1 = 4y - 10 \Rightarrow 3x - 4y = -11$$ 4. Segunda ecuación: $$2(x - y) = y - 8 \Rightarrow 2x - 2y = y - 8 \Rightarrow 2x - 3y = -8$$ 5. Sistema equivalente: $$\begin{cases} 3x - 4y = -11 \\ 2x - 3y = -8 \end{cases}$$ 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la primera por 4 para igualar coeficientes de $y$: $$\begin{cases} 12x - 16y = -44 \\ 6x - 9y = -24 \end{cases}$$ 7. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$12x - 18y = -48$$ 8. Restamos la primera ecuación de esta: $$(12x - 18y) - (12x - 16y) = -48 - (-44) \Rightarrow -2y = -4$$ 9. Despejamos $y$: $$y = 2$$ 10. Sustituimos $y=2$ en $2x - 3y = -8$: $$2x - 6 = -8 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$$ 11. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (-1,2)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} -2x + \frac{y}{3} = \frac{1}{5} \\ \frac{x}{2} - 3y = 1 \end{cases}$$ 2. Multiplicamos la primera ecuación por 15 para eliminar denominadores: $$15 \times \left(-2x + \frac{y}{3}\right) = 15 \times \frac{1}{5}$$ $$-30x + 5y = 3$$ 3. Multiplicamos la segunda ecuación por 6: $$6 \times \left(\frac{x}{2} - 3y\right) = 6 \times 1$$ $$3x - 18y = 6$$ 4. Sistema equivalente: $$\begin{cases} -30x + 5y = 3 \\ 3x - 18y = 6 \end{cases}$$ 5. Multiplicamos la segunda ecuación por 10: $$30x - 180y = 60$$ 6. Sumamos la primera y la nueva segunda ecuación: $$(-30x + 5y) + (30x - 180y) = 3 + 60 \Rightarrow -175y = 63$$ 7. Despejamos $y$: $$y = \frac{63}{-175} = -\frac{9}{25}$$ 8. Sustituimos $y$ en la segunda ecuación original: $$3x - 18 \times \left(-\frac{9}{25}\right) = 6 \Rightarrow 3x + \frac{162}{25} = 6$$ 9. Restamos $\frac{162}{25}$: $$3x = 6 - \frac{162}{25} = \frac{150}{25} - \frac{162}{25} = -\frac{12}{25}$$ 10. Despejamos $x$: $$x = -\frac{12}{75} = -\frac{4}{25}$$ 11. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = \left(-\frac{4}{25}, -\frac{9}{25}\right)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} 4y + 7 = -6x \\ 4x - 2y = -7 \end{cases}$$ 2. Reordenamos la primera ecuación: $$4y = -6x - 7$$ 3. Despejamos $y$: $$y = \frac{-6x - 7}{4}$$ 4. Sustituimos en la segunda ecuación: $$4x - 2 \times \frac{-6x - 7}{4} = -7$$ 5. Simplificamos: $$4x + \frac{12x + 14}{4} = -7$$ 6. Multiplicamos todo por 4 para eliminar denominador: $$16x + 12x + 14 = -28$$ 7. Sumamos términos: $$28x + 14 = -28$$ 8. Restamos 14: $$28x = -42$$ 9. Despejamos $x$: $$x = -\frac{42}{28} = -\frac{3}{2}$$ 10. Sustituimos $x$ en $y = \frac{-6x - 7}{4}$: $$y = \frac{-6 \times \left(-\frac{3}{2}\right) - 7}{4} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 11. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3y - x = a - 9 \end{cases}$$ 2. De la primera ecuación despejamos $x$: $$x = 6 + 2y$$ 3. Sustituimos en la segunda: $$3y - (6 + 2y) = a - 9 \Rightarrow 3y - 6 - 2y = a - 9$$ 4. Simplificamos: $$y - 6 = a - 9 \Rightarrow y = a - 3$$ 5. Sustituimos $y$ en $x = 6 + 2y$: $$x = 6 + 2(a - 3) = 6 + 2a - 6 = 2a$$ 6. **Solución en función de $a$:** $$\boxed{(x,y) = (2a, a - 3)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} x - 3y = 0 \\ \frac{-2x + 3y}{2} = -y + 1 \end{cases}$$ 2. De la primera ecuación: $$x = 3y$$ 3. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$-2x + 3y = 2(-y + 1) = -2y + 2$$ 4. Sustituimos $x = 3y$: $$-2(3y) + 3y = -2y + 2 \Rightarrow -6y + 3y = -2y + 2$$ 5. Simplificamos: $$-3y = -2y + 2$$ 6. Sumamos $2y$ a ambos lados: $$-3y + 2y = 2 \Rightarrow -y = 2$$ 7. Despejamos $y$: $$y = -2$$ 8. Sustituimos en $x = 3y$: $$x = 3 \times (-2) = -6$$ 9. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (-6, -2)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} \frac{1 - y}{2} = x \\ x + 2 = \frac{y}{3} \end{cases}$$ 2. De la primera ecuación: $$x = \frac{1 - y}{2}$$ 3. Sustituimos en la segunda: $$\frac{1 - y}{2} + 2 = \frac{y}{3}$$ 4. Multiplicamos todo por 6 para eliminar denominadores: $$3(1 - y) + 12 = 2y$$ 5. Simplificamos: $$3 - 3y + 12 = 2y \Rightarrow 15 - 3y = 2y$$ 6. Sumamos $3y$ a ambos lados: $$15 = 5y$$ 7. Despejamos $y$: $$y = 3$$ 8. Sustituimos $y$ en $x = \frac{1 - y}{2}$: $$x = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ 9. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (-1, 3)}$$ --- 1. **Problema:** Resolver el sistema $$\begin{cases} \frac{2x - 2}{3} = y + 1 \\ x - 3 = 2(3y - 7) \end{cases}$$ 2. Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$2x - 2 = 3y + 3$$ 3. Reordenamos: $$2x - 3y = 5$$ 4. Expandimos la segunda ecuación: $$x - 3 = 6y - 14 \Rightarrow x - 6y = -11$$ 5. Sistema equivalente: $$\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ x - 6y = -11 \end{cases}$$ 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$2x - 12y = -22$$ 7. Restamos la primera ecuación: $$(2x - 12y) - (2x - 3y) = -22 - 5 \Rightarrow -9y = -27$$ 8. Despejamos $y$: $$y = 3$$ 9. Sustituimos $y$ en $x - 6y = -11$: $$x - 18 = -11 \Rightarrow x = 7$$ 10. **Solución:** $$\boxed{(x,y) = (7,3)}$$