1. **Problema:** Resolver el sistema \(\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - y = -2 \end{cases}\) por el método de eliminación. 2. **Fórmula y regla:** Para eliminar una variable, multiplicamos las ecuaciones para que los coeficientes de una variable sean iguales en valor absoluto y luego sumamos o restamos las ecuaciones. 3. Multiplicamos la primera ecuación por 2 para igualar coeficientes de \(x\): $$2(x - 3y) = 2(3) \Rightarrow 2x - 6y = 6$$ 4. Restamos la segunda ecuación original de esta nueva: $$ (2x - 6y) - (2x - y) = 6 - (-2) \Rightarrow -6y + y = 8 \Rightarrow -5y = 8 $$ 5. Despejamos \(y\): $$ y = -\frac{8}{5} $$ 6. Sustituimos \(y\) en la primera ecuación: $$ x - 3\left(-\frac{8}{5}\right) = 3 \Rightarrow x + \frac{24}{5} = 3 \Rightarrow x = 3 - \frac{24}{5} = \frac{15}{5} - \frac{24}{5} = -\frac{9}{5} $$ 7. **Respuesta:** \(x = -\frac{9}{5}, y = -\frac{8}{5}\). --- 1. **Problema:** Resolver el sistema \(\begin{cases} x - 1 = y + 1 \\ x - 3 = 3y - 7 \end{cases}\). 2. Simplificamos ambas ecuaciones: $$ x - 1 = y + 1 \Rightarrow x - y = 2 $$ $$ x - 3 = 3y - 7 \Rightarrow x - 3y = -4 $$ 3. Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$ 3x - 3y = 6 $$ 4. Restamos la segunda ecuación: $$ (3x - 3y) - (x - 3y) = 6 - (-4) \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 $$ 5. Sustituimos \(x=5\) en \(x - y = 2\): $$ 5 - y = 2 \Rightarrow y = 3 $$ 6. **Respuesta:** \(x=5, y=3\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - 6y = 6 \end{cases}\). 2. Observamos que la segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que son dependientes. 3. Esto indica infinitas soluciones que satisfacen \(x - 3y = 3\). 4. Despejamos \(x\): $$ x = 3 + 3y $$ 5. **Respuesta:** Infinitas soluciones de la forma \( (x,y) = (3 + 3y, y) \). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} \frac{x - 2y}{3} = \frac{x - 2y}{6} = \frac{2}{3} \\ (x - 3y) + 6 = 1 \cdot 3 \end{cases}\). 2. La igualdad \(\frac{x - 2y}{3} = \frac{x - 2y}{6}\) implica que \(x - 2y = 0\). 3. De \(\frac{x - 2y}{3} = \frac{2}{3}\), multiplicamos ambos lados por 3: $$ x - 2y = 2 $$ 4. Esto contradice el paso 2, por lo que interpretamos que la ecuación correcta es: $$ \frac{x - 2y}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow x - 2y = 2 $$ 5. La segunda ecuación: $$ (x - 3y) + 6 = 3 \Rightarrow x - 3y = -3 $$ 6. Multiplicamos la primera ecuación por 3 para eliminar \(x\): $$ 3(x - 2y) = 3(2) \Rightarrow 3x - 6y = 6 $$ 7. Multiplicamos la segunda ecuación por -3: $$ -3(x - 3y) = -3(-3) \Rightarrow -3x + 9y = 9 $$ 8. Sumamos: $$ (3x - 6y) + (-3x + 9y) = 6 + 9 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5 $$ 9. Sustituimos \(y=5\) en \(x - 2y = 2\): $$ x - 10 = 2 \Rightarrow x = 12 $$ 10. **Respuesta:** \(x=12, y=5\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} 2x + 1 = y \\ 3y - 6x = 4 \end{cases}\). 2. Sustituimos \(y = 2x + 1\) en la segunda ecuación: $$ 3(2x + 1) - 6x = 4 \Rightarrow 6x + 3 - 6x = 4 \Rightarrow 3 = 4 $$ 3. Esto es una contradicción, por lo que no hay solución. 4. **Respuesta:** No hay solución (sistema incompatible). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} \frac{3x + 1}{6} = \frac{2y - 5}{3} \\ 2(x - y) = y - 8 \end{cases}\). 2. Multiplicamos la primera ecuación por 6: $$ 3x + 1 = 2(2y - 5) \Rightarrow 3x + 1 = 4y - 10 $$ 3. Reordenamos: $$ 3x - 4y = -11 $$ 4. La segunda ecuación: $$ 2x - 2y = y - 8 \Rightarrow 2x - 3y = -8 $$ 5. Multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la primera por 2 para eliminar \(y\): $$ 6x - 9y = -24 $$ $$ 6x - 8y = -22 $$ 6. Restamos: $$ (6x - 9y) - (6x - 8y) = -24 - (-22) \Rightarrow -y = -2 \Rightarrow y = 2 $$ 7. Sustituimos \(y=2\) en \(3x - 4y = -11\): $$ 3x - 8 = -11 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 $$ 8. **Respuesta:** \(x = -1, y = 2\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} -2x + \frac{y}{3} = \frac{1}{5} \\ \frac{x}{2} - 3y = 1 \end{cases}\). 2. Multiplicamos la primera ecuación por 15 para eliminar denominadores: $$ 15(-2x) + 15\left(\frac{y}{3}\right) = 15\left(\frac{1}{5}\right) \Rightarrow -30x + 5y = 3 $$ 3. Multiplicamos la segunda ecuación por 6: $$ 6\left(\frac{x}{2}\right) - 6(3y) = 6(1) \Rightarrow 3x - 18y = 6 $$ 4. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 para eliminar \(x\): $$ -90x + 15y = 9 $$ $$ 15x - 90y = 30 $$ 5. Sumamos: $$ (-90x + 15y) + (15x - 90y) = 9 + 30 \Rightarrow -75x - 75y = 39 $$ 6. Esto no elimina \(x\), corregimos: mejor multiplicar la primera por 1 y la segunda por 10: $$ -30x + 5y = 3 $$ $$ 30x - 180y = 60 $$ 7. Sumamos: $$ (-30x + 5y) + (30x - 180y) = 3 + 60 \Rightarrow -175y = 63 \Rightarrow y = -\frac{63}{175} = -\frac{9}{25} $$ 8. Sustituimos \(y\) en \(-30x + 5y = 3\): $$ -30x + 5\left(-\frac{9}{25}\right) = 3 \Rightarrow -30x - \frac{45}{25} = 3 \Rightarrow -30x = 3 + \frac{45}{25} = 3 + 1.8 = 4.8 $$ 9. Despejamos \(x\): $$ x = -\frac{4.8}{30} = -0.16 = -\frac{4}{25} $$ 10. **Respuesta:** \(x = -\frac{4}{25}, y = -\frac{9}{25}\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} 4y + 7 = -6x \\ 4x - 2y = -7 \end{cases}\). 2. Reordenamos la primera ecuación: $$ 4y = -6x - 7 $$ 3. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$ 8x - 4y = -14 $$ 4. Sumamos la primera ecuación multiplicada por 1 y la segunda: $$ (4y) + (-4y) = (-6x - 7) + (8x - 14) \Rightarrow 0 = 2x - 21 $$ 5. Despejamos \(x\): $$ 2x = 21 \Rightarrow x = \frac{21}{2} $$ 6. Sustituimos \(x\) en la segunda ecuación: $$ 4\left(\frac{21}{2}\right) - 2y = -7 \Rightarrow 42 - 2y = -7 \Rightarrow -2y = -49 \Rightarrow y = \frac{49}{2} $$ 7. **Respuesta:** \(x = \frac{21}{2}, y = \frac{49}{2}\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3y - x = a - 9 \end{cases}\). 2. Sumamos ambas ecuaciones: $$ (x - 2y) + (3y - x) = 6 + (a - 9) \Rightarrow y = a - 3 $$ 3. Sustituimos \(y\) en la primera ecuación: $$ x - 2(a - 3) = 6 \Rightarrow x - 2a + 6 = 6 \Rightarrow x = 2a $$ 4. **Respuesta:** \(x = 2a, y = a - 3\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} x - 3y = 0 \\ -2x + 3y = 2 = -y + 1 \end{cases}\). 2. La segunda ecuación parece tener error, interpretamos como dos ecuaciones: $$ -2x + 3y = 2 $$ $$ 2 = -y + 1 \Rightarrow y = -1 $$ 3. Sustituimos \(y = -1\) en la primera ecuación: $$ x - 3(-1) = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $$ 4. Verificamos en la segunda ecuación: $$ -2(-3) + 3(-1) = 6 - 3 = 3 \neq 2 $$ 5. Hay inconsistencia, pero si tomamos solo la primera parte: $$ -2x + 3y = 2 $$ 6. Sustituimos \(x = -3, y = -1\): $$ -2(-3) + 3(-1) = 6 - 3 = 3 \neq 2 $$ 7. Por lo tanto, no hay solución consistente con ambas ecuaciones. 8. **Respuesta:** No hay solución. --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} \frac{1 - y}{2} + 2 = x \\ x + 2 = \frac{y}{3} \end{cases}\). 2. Simplificamos la primera ecuación: $$ x = \frac{1 - y}{2} + 2 = \frac{1 - y + 4}{2} = \frac{5 - y}{2} $$ 3. La segunda ecuación: $$ x + 2 = \frac{y}{3} \Rightarrow x = \frac{y}{3} - 2 $$ 4. Igualamos ambas expresiones de \(x\): $$ \frac{5 - y}{2} = \frac{y}{3} - 2 $$ 5. Multiplicamos por 6 para eliminar denominadores: $$ 3(5 - y) = 2y - 12 \Rightarrow 15 - 3y = 2y - 12 $$ 6. Sumamos \(3y\) y sumamos 12: $$ 15 + 12 = 2y + 3y \Rightarrow 27 = 5y \Rightarrow y = \frac{27}{5} $$ 7. Sustituimos \(y\) en \(x = \frac{y}{3} - 2\): $$ x = \frac{27/5}{3} - 2 = \frac{27}{15} - 2 = \frac{9}{5} - 2 = \frac{9}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{1}{5} $$ 8. **Respuesta:** \(x = -\frac{1}{5}, y = \frac{27}{5}\). --- 1. **Problema:** Resolver \(\begin{cases} \frac{2x - 2}{3} = y + 1 \\ x - 3 = 2(3y - 7) \end{cases}\). 2. Multiplicamos la primera ecuación por 3: $$ 2x - 2 = 3y + 3 $$ 3. Reordenamos: $$ 2x - 3y = 5 $$ 4. La segunda ecuación: $$ x - 3 = 6y - 14 \Rightarrow x - 6y = -11 $$ 5. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$ 2x - 12y = -22 $$ 6. Restamos la primera ecuación: $$ (2x - 12y) - (2x - 3y) = -22 - 5 \Rightarrow -9y = -27 \Rightarrow y = 3 $$ 7. Sustituimos \(y=3\) en \(2x - 3y = 5\): $$ 2x - 9 = 5 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7 $$ 8. **Respuesta:** \(x=7, y=3\). --- **II PARTE: Problemas de aplicación** 1. La cuarta parte de un número es igual a siete más el doble del número. Sea \(x\) el número: $$ \frac{x}{4} = 7 + 2x $$ Multiplicamos por 4: $$ x = 28 + 8x \Rightarrow x - 8x = 28 \Rightarrow -7x = 28 \Rightarrow x = -4 $$ 2. Dos números enteros están en razón 2:3 y su suma es 20. Sea \(2k\) y \(3k\): $$ 2k + 3k = 20 \Rightarrow 5k = 20 \Rightarrow k = 4 $$ Producto: $$ 2k \times 3k = 6k^2 = 6 \times 16 = 96 $$ 3. María tiene el doble de la edad de Marta, y dentro de 2 años María tendrá 8 años más que Marta. Sea \(M\) la edad de María y \(m\) la de Marta: $$ M = 2m $$ Dentro de 2 años: $$ M + 2 = m + 2 + 8 \Rightarrow M + 2 = m + 10 $$ Sustituimos \(M=2m\): $$ 2m + 2 = m + 10 \Rightarrow 2m - m = 8 \Rightarrow m = 8 $$ Entonces: $$ M = 16 $$ 4. Largo \(L\) es 20 m menor que el doble del ancho \(A\): $$ L = 2A - 20 $$ Perímetro: $$ 2(L + A) = 80 \Rightarrow L + A = 40 $$ Sustituimos \(L\): $$ 2A - 20 + A = 40 \Rightarrow 3A = 60 \Rightarrow A = 20 $$ Entonces: $$ L = 2(20) - 20 = 20 $$ 5. Personas A y B suman 89. B tiene 24 menos que el doble de A: $$ A + B = 89 $$ $$ B = 2A - 24 $$ Sustituimos: $$ A + 2A - 24 = 89 \Rightarrow 3A = 113 \Rightarrow A = \frac{113}{3} \approx 37.67 $$ Entonces: $$ B = 2(37.67) - 24 = 75.33 - 24 = 51.33 $$ 6. Edad de Daniel \(D\) excede en 4 años a Pablo \(P\), y suman 32: $$ D = P + 4 $$ $$ D + P = 32 $$ Sustituimos: $$ P + 4 + P = 32 \Rightarrow 2P = 28 \Rightarrow P = 14 $$ Entonces: $$ D = 18 $$ 7. Sea \(C\) el número de personas que llevan comida y \(R\) las que llevan refrescos. Originalmente: $$ 2C = 3R $$ Después, uno que debía llevar comida llevó refrescos, entonces: $$ C - 2 = R $$ Sustituimos \(C = \frac{3R}{2}\): $$ \frac{3R}{2} - 2 = R \Rightarrow \frac{3R}{2} - R = 2 \Rightarrow \frac{R}{2} = 2 \Rightarrow R = 4 $$ **Respuesta:** 4 personas llevaron refrescos.