1. Vamos analisar o sistema linear com parâmetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y + az = 0 \\ -x + ay - z = -2 \\ ax - y + z = 0 \end{cases}$$ 2. Para classificar o sistema como possível e determinado, possível indeterminado ou impossível, estudamos o determinante da matriz dos coeficientes e o sistema ampliado. 3. Matriz dos coeficientes: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ -1 & a & -1 \\ a & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ 4. Calcule o determinante $\det(A)$: $$ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} -1 & a \\ a & -1 \end{vmatrix} $$ Calculando os menores: $$ \begin{vmatrix} a & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = a - 1 $$ $$ \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot a = -1 + a = a -1 $$ $$ \begin{vmatrix} -1 & a \\ a & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - a \cdot a = 1 - a^2 $$ 5. Substituindo na expressão do determinante: $$ \det(A) = 1 \cdot (a-1) - 1 \cdot (a-1) + a \cdot (1 - a^2) = (a-1) - (a-1) + a(1 - a^2) = 0 + a - a^3 = a - a^3 = a(1 - a^2) = a(1 - a)(1 + a) $$ Logo: $$\det(A) = a(1 - a)(1 + a)$$ 6. Para determinar as classificações: (i) Sistema possível e determinado: ocorre quando $\det(A) \neq 0$. Então, $$a \neq 0, \quad a \neq 1, \quad a \neq -1$$ (ii) Sistema possível indeterminado ou (iii) Sistema impossível: quando $\det(A) = 0$, ou seja, para $a = 0$, $a = 1$ ou $a = -1$. Precisamos analisar o sistema ampliado nestes valores. 7. Escrevendo o sistema ampliado para analisar o posto da matriz dos coeficientes $A$ e da matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 0 \\ -1 & a & -1 & -2 \\ a & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Analisemos cada caso: **Caso $a=0$**: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calcule polarização do posto: - O determinante é zero, como já vimos. - Estude o posto de $A$ e $A^*$ usando escalonamento. A matriz $A$: Linha 1 (L1): $[1,1,0]$ Linha 2 (L2): $[-1,0,-1]$ Linha 3 (L3): $[0,-1,1]$ Operações: L2 + L1 $\to$ L2: $[-1+1, 0+1, -1+0] = [0,1,-1]$ Assim, matrizes L1 e L2, L3: L1: $[1,1,0]$ L2: $[0,1,-1]$ L3: $[0,-1,1]$ L3 + L2 $\to$ L3: $[0, -1+1, 1 -1] = [0,0,0]$ Assim, posto de $A$ é 2. Agora, matriz ampliada $A^*$: L1: $[1,1,0,0]$ L2: $[-1,0,-1,-2]$ L3: $[0,-1,1,0]$ Fazemos as mesmas operações na parte aumentada: L2 + L1 $\to$ L2: $[0,1,-1,-2]$ L3 + L2 $\to$ L3: $[0,0,0, -2]$ Agora, última linha tem $[0,0,0,-2]$ que é incompatível. Então, $\text{posto}(A) = 2$, $\text{posto}(A^*) = 3$: Sistema incompatível (impossível) para $a=0$. **Caso $a=1$**: Matriz dos coeficientes: $$A = \begin{pmatrix}1 &1 &1 \\ -1 &1 &-1 \\ 1 &-1 &1 \end{pmatrix}$$ Matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix}1 &1 &1 &0 \\ -1 &1 &-1 &-2 \\ 1 &-1 &1 &0 \end{pmatrix}$$ Calculate the rank of $A$: L1: $[1,1,1]$ L2: $[-1,1,-1]$ L3: $[1,-1,1]$ L2 + L1 $\to$ L2: $[0,2,0]$ L3 - L1 $\to$ L3: $[0,-2,0]$ L3 + L2 $\to$ L3: $[0,0,0]$ Rank$(A) = 2$ Matriz ampliada $A^*$: L1: $[1,1,1,0]$ L2: $[0,2,0,-2]$ L3: $[0,-2,0,0]$ L3 + L2 $\to$ L3: $[0,0,0,-2]$ Rank$(A^*) = 3$ Sendo rank$(A) \neq$ rank$(A^*)$, sistema impossível para $a=1$. **Caso $a=-1$**: $$A = \begin{pmatrix}1 &1 &-1 \\ -1 &-1 &-1 \\ -1 &-1 &1 \end{pmatrix}$$ $$A^* = \begin{pmatrix}1 &1 &-1 &0 \\ -1 &-1 &-1 &-2 \\ -1 &-1 &1 &0 \end{pmatrix}$$ L1: $[1,1,-1]$ L2 + L1 $\to$ L2: $[0,0,-2,-2]$ L3 + L1 $\to$ L3: $[0,0,0,0]$ Rank$(A) = $ número de linhas não nulas na seção dos coeficientes Examinar as linhas: L1 é não nula L2 é não nula L3 é nula Então rank$(A) = 2$ Matriz ampliada: L1: $[1,1,-1,0]$ L2: $[0,0,-2,-2]$ L3: $[0,0,0,0]$ Rank$(A^*) = 2$ Pois a linha 2 tem pivô na coluna 3 e última linha zero. Como rank$(A) = $ rank$(A^*) = 2 < 3$, temos sistema possível indeterminado para $a=-1$. 8. **Resumo:** - Para $a \neq 0, 1, -1$: o sistema é possível e determinado (única solução). - Para $a = -1$: sistema possível indeterminado (infinitas soluções). - Para $a = 0$ ou $a = 1$: sistema impossível (sem solução). **Resposta final:** (i) Possível e determinado para $a \in \mathbb{R} \setminus \{ -1, 0, 1 \}$. (ii) Possível indeterminado para $a = -1$. (iii) Impossível para $a = 0$ e $a = 1$.