1. Planteamos el problema: Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables: $$5x + 9y + 7z = 7$$ $$9x + 17y - 8z = 9$$ Queremos añadir una tercera ecuación para que el sistema no tenga solución. 2. Regla importante: Un sistema no tiene solución si las ecuaciones son inconsistentes, es decir, si la tercera ecuación es una combinación lineal de las dos primeras pero con un término independiente diferente, generando contradicción. 3. Primero, verificamos si la tercera ecuación propuesta es combinación lineal de las dos primeras. Sea la tercera ecuación: $$ax + by + cz = d$$ 4. Buscamos coeficientes $\lambda$ y $\mu$ tales que: $$\lambda(5x + 9y + 7z) + \mu(9x + 17y - 8z) = ax + by + cz$$ Esto implica: $$5\lambda + 9\mu = a$$ $$9\lambda + 17\mu = b$$ $$7\lambda - 8\mu = c$$ 5. Para cada opción, intentamos encontrar $\lambda$ y $\mu$ que satisfagan las tres ecuaciones para $a,b,c$. Si existen, calculamos el término independiente esperado: $$7\lambda + 9\mu$$ Si este no coincide con $d$, el sistema es inconsistente y no tiene solución. 6. Probamos la opción a: $$a = -17, b = -16, c = 38, d = -13$$ Resolvemos: $$5\lambda + 9\mu = -17$$ $$9\lambda + 17\mu = -16$$ $$7\lambda - 8\mu = 38$$ De las dos primeras: Multiplicamos la primera por 9: $$45\lambda + 81\mu = -153$$ Multiplicamos la segunda por 5: $$45\lambda + 85\mu = -80$$ Restamos: $$-4\mu = -73 \Rightarrow \mu = \frac{73}{4}$$ Sustituimos en la primera: $$5\lambda + 9 \times \frac{73}{4} = -17 \Rightarrow 5\lambda = -17 - \frac{657}{4} = -\frac{68}{4} - \frac{657}{4} = -\frac{725}{4}$$ $$\lambda = -\frac{725}{20} = -\frac{145}{4}$$ Verificamos la tercera ecuación: $$7 \times -\frac{145}{4} - 8 \times \frac{73}{4} = -\frac{1015}{4} - \frac{584}{4} = -\frac{1599}{4} = -399.75$$ Pero $c=38$, no coincide, por lo que no es combinación lineal. Opción a descartada. 7. Probamos opción d: $$a = -17, b = -33, c = 38, d = -13$$ Resolvemos: $$5\lambda + 9\mu = -17$$ $$9\lambda + 17\mu = -33$$ $$7\lambda - 8\mu = 38$$ De las dos primeras: Multiplicamos la primera por 9: $$45\lambda + 81\mu = -153$$ Multiplicamos la segunda por 5: $$45\lambda + 85\mu = -165$$ Restamos: $$-4\mu = 12 \Rightarrow \mu = -3$$ Sustituimos en la primera: $$5\lambda + 9(-3) = -17 \Rightarrow 5\lambda - 27 = -17 \Rightarrow 5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$$ Verificamos la tercera: $$7(2) - 8(-3) = 14 + 24 = 38$$ Coincide con $c=38$. Calculamos término independiente esperado: $$7\lambda + 9\mu = 7(2) + 9(-3) = 14 - 27 = -13$$ Coincide con $d=-13$. Esto indica que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras, por lo que el sistema sigue siendo consistente y tiene solución. Opción d descartada. 8. Probamos opción b: $$a=3, b=7, c=-37, d=-2$$ Resolvemos: $$5\lambda + 9\mu = 3$$ $$9\lambda + 17\mu = 7$$ $$7\lambda - 8\mu = -37$$ De las dos primeras: Multiplicamos la primera por 9: $$45\lambda + 81\mu = 27$$ Multiplicamos la segunda por 5: $$45\lambda + 85\mu = 35$$ Restamos: $$-4\mu = -8 \Rightarrow \mu = 2$$ Sustituimos en la primera: $$5\lambda + 9(2) = 3 \Rightarrow 5\lambda + 18 = 3 \Rightarrow 5\lambda = -15 \Rightarrow \lambda = -3$$ Verificamos la tercera: $$7(-3) - 8(2) = -21 - 16 = -37$$ Coincide con $c=-37$. Calculamos término independiente esperado: $$7\lambda + 9\mu = 7(-3) + 9(2) = -21 + 18 = -3$$ Pero $d = -2$, no coincide. Esto indica que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras pero con término independiente diferente, por lo que el sistema es inconsistente y no tiene solución. 9. Por lo tanto, la opción correcta es la b. **Respuesta final:** La ecuación que debe añadirse para que el sistema no tenga solución es: $$3x + 7y - 37z = -2$$