1. Planteamos el problema: Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que, tras aplicar el método de Gauss, se reduce a la matriz aumentada $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 0 \\ 3 & 3 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ 2. Interpretamos la matriz: Esta matriz representa el sistema $$\begin{cases} x + y + a z = 0 \\ 3x + 3y + a z = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}$$ 3. Observamos que la tercera fila es una ecuación trivial (0=0), por lo que no aporta restricción. 4. Analizamos las dos primeras ecuaciones: - La segunda ecuación es múltiplo de la primera si y solo si $3x + 3y + a z = 3(x + y) + a z$. 5. Restamos $3$ veces la primera ecuación a la segunda: $$3x + 3y + a z - 3(x + y + a z) = 3x + 3y + a z - 3x - 3y - 3a z = a z - 3a z = -2 a z = 0$$ 6. Esto implica que $-2 a z = 0$, o sea, $a z = 0$. 7. Si $a \neq 0$, entonces $z = 0$. 8. Entonces, para $a \neq 0$, el sistema queda: $$\begin{cases} x + y + a z = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ 9. Reemplazando $z=0$ en la primera ecuación: $$x + y = 0$$ 10. Esto significa que $y = -x$, y $z=0$, por lo que las soluciones son infinitas y forman una recta en el espacio. 11. Si $a = 0$, las dos primeras ecuaciones son: $$x + y = 0$$ $$3x + 3y = 0$$ que son dependientes y la tercera fila es trivial, por lo que hay infinitas soluciones que forman un plano. 12. Por lo tanto, la afirmación correcta es: **d. Si $a \neq 0$ el sistema tiene infinitas soluciones que forman una recta.**