1. **Resolver sistema (a):** El sistema es: $$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y + z = -2 \\ 5x - y + 2z = 4 \end{cases}$$ 2. Calculemos el determinante principal $D$ de la matriz de coeficientes: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ 3. Expandamos $D$ usando cofactores: $$D = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$ 4. Calculando cada menor: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (3)(2) - (1)(-1) = 6 + 1 = 7$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (1)(5) = 4 - 5 = -1$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(5) = -2 - 15 = -17$$ 5. Sustituimos: $$D = 1 \times 7 - 1 \times (-1) + (-1) \times (-17) = 7 + 1 + 17 = 25$$ 6. Como $D \ne 0$, existe solución única. 7. Calculamos $D_x$, reemplazando primera columna por términos independientes: $$D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ 8. Expandimos $D_x$: $$D_x = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}$$ 9. Calculamos menores: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 7$$ (como antes), $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(2) - (1)(4) = -4 -4 = -8$$ $$\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (3)(4) = 2 - 12 = -10$$ 10. Sustituimos: $$D_x = 1 \times 7 - 1 \times (-8) + (-1) \times (-10) = 7 + 8 + 10 = 25$$ 11. Calculamos $D_y$ reemplazando segunda columna: $$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$ 12. Expandimos $D_y$: $$D_y = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$$ 13. Menores: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -8$$ (ya calculado), $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -1$$ (ya calculado), $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (-2)(5) = 8 +10 =18$$ 14. Sustituimos: $$D_y = 1 \times (-8) - 1 \times (-1) + (-1) \times 18 = -8 +1 -18 = -25$$ 15. Calculamos $D_z$ reemplazando tercera columna: $$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 5 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ 16. Expandimos $D_z$: $$D_z = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$ 17. Calculamos menores: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (-2)(-1) = 12 - 2 = 10$$ $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 18$$ (ya calculado), $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -17$$ (ya calculado) 18. Sustituimos: $$D_z = 1 \times 10 - 1 \times 18 + 1 \times (-17) = 10 - 18 - 17 = -25$$ 19. Finalmente, las soluciones son: $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{25}{25} = 1$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = -1$$ $$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-25}{25} = -1$$ --- 20. **Resolver sistema (b):** El sistema es: $$\begin{cases} x + y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 1 \\ -2x - y - 8z = -7 \end{cases}$$ 21. Calculemos determinante principal $D$: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ -2 & -1 & -8 \end{vmatrix}$$ 22. Expandimos: $$D = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ 23. Menores: $$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} = (3)(-8) - (4)(-1) = -24 + 4 = -20$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} = (2)(-8) - (4)(-2) = -16 + 8 = -8$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(-2) = -2 + 6 = 4$$ 24. Sustituimos: $$D = 1 \times (-20) - 1 \times (-8) + 3 \times 4 = -20 + 8 + 12 = 0$$ 25. Como $D=0$, el sistema puede tener infinitas soluciones o no tener solución. 26. Calculamos $D_x$: $$D_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ -7 & -1 & -8 \end{vmatrix}$$ 27. Expandimos $D_x$: $$D_x = 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -7 & -8 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -7 & -1 \end{vmatrix}$$ 28. Los menores: $$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} = -20$$ (antes), $$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -7 & -8 \end{vmatrix} = (1)(-8) - (4)(-7) = -8 + 28 = 20$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -7 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (3)(-7) = -1 + 21 = 20$$ 29. Sustituimos: $$D_x = 2 \times (-20) - 1 \times 20 + 3 \times 20 = -40 - 20 + 60 = 0$$ 30. Calculamos $D_y$: $$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ -2 & -7 & -8 \end{vmatrix}$$ 31. Expandimos $D_y$: $$D_y = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -7 & -8 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -7 \end{vmatrix}$$ 32. Menores: $$\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -7 & -8 \end{vmatrix} = 20$$ (antes), $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -8 \end{vmatrix} = -8$$ (antes), $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} = (2)(-7)-(1)(-2) = -14 + 2 = -12$$ 33. Sustituimos: $$D_y = 1 \times 20 - 2 \times (-8) + 3 \times (-12) = 20 +16 -36 = 0$$ 34. Calculamos $D_z$: $$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & -7 \end{vmatrix}$$ 35. Expandimos: $$D_z = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -7 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ 36. Menores: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -7 \end{vmatrix} = (3)(-7) - (1)(-1) = -21 + 1 = -20$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} = (2)(-7) - (1)(-2) = -14 + 2 = -12$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -4$$ (ya calculado, corregido de paso 23) 37. Sustituimos: $$D_z = 1 \times (-20) - 1 \times (-12) + 2 \times (-4) = -20 + 12 - 8 = -16$$ 38. Como $D=0$ y alguno de $D_x$, $D_y$, $D_z$ no es cero, el sistema es incompatible y no tiene solución. --- **Respuestas finales:** - Sistema (a): $x=1$, $y=-1$, $z=-1$ - Sistema (b): No tiene solución.