1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\frac{3^{8} \cdot 2^{7} \cdot 4^{2} \cdot 25^{2}}{3^{6} \cdot 2^{5} \cdot 2^{4} \cdot 5^{4}} - \left( \frac{243^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{4}}} \right) - \frac{1}{3^{-3}}$$. 2. Recordemos algunas reglas importantes de potencias: - $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$ - $$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$ - $$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$$ - Para raíces: $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$ 3. Simplificamos la primera fracción: - Primero, expresamos 4 y 25 en potencias de 2 y 5 respectivamente: $$4 = 2^{2}$$ $$25 = 5^{2}$$ - Entonces: $$4^{2} = (2^{2})^{2} = 2^{4}$$ $$25^{2} = (5^{2})^{2} = 5^{4}$$ - La fracción queda: $$\frac{3^{8} \cdot 2^{7} \cdot 2^{4} \cdot 5^{4}}{3^{6} \cdot 2^{5} \cdot 2^{4} \cdot 5^{4}}$$ - Simplificamos potencias con la misma base: $$3^{8-6} = 3^{2}$$ $$2^{7+4 - (5+4)} = 2^{11 - 9} = 2^{2}$$ $$5^{4-4} = 5^{0} = 1$$ - Resultado de la fracción: $$3^{2} \cdot 2^{2} = 9 \cdot 4 = 36$$ 4. Simplificamos el segundo término: - $$243^{\frac{1}{2}} = \sqrt{243}$$ - $$243 = 3^{5}$$, entonces: $$\sqrt{243} = (3^{5})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$$ - $$9^{\frac{1}{4}} = (3^{2})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$$ - División: $$\frac{3^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = 3^{2} = 9$$ 5. Simplificamos el tercer término: - $$\frac{1}{3^{-3}} = 3^{3} = 27$$ 6. Finalmente, juntamos todo: $$36 - 9 - 27 = 0$$ Respuesta final: $$0$$.