1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\log \left(\frac{xy}{ez}\right) + \log \left(\frac{ez}{4}\right) - \log \left(\frac{ex}{4}\right) - \log (ey)$$. 2. Recordemos las propiedades importantes de los logaritmos: - $$\log a + \log b = \log (ab)$$ - $$\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$$ 3. Aplicamos la suma de logaritmos a los dos primeros términos: $$\log \left(\frac{xy}{ez}\right) + \log \left(\frac{ez}{4}\right) = \log \left(\frac{xy}{ez} \times \frac{ez}{4}\right)$$ 4. Simplificamos el producto dentro del logaritmo: $$\frac{xy}{ez} \times \frac{ez}{4} = \frac{xy \cancel{ez}}{\cancel{ez} 4} = \frac{xy}{4}$$ 5. Ahora la expresión queda: $$\log \left(\frac{xy}{4}\right) - \log \left(\frac{ex}{4}\right) - \log (ey)$$ 6. Aplicamos la resta de logaritmos a los dos últimos términos: $$\log \left(\frac{xy}{4}\right) - \log \left(\frac{ex}{4}\right) = \log \left(\frac{\frac{xy}{4}}{\frac{ex}{4}}\right) = \log \left(\frac{xy}{4} \times \frac{4}{ex}\right)$$ 7. Simplificamos el producto dentro del logaritmo: $$\frac{xy}{4} \times \frac{4}{ex} = \frac{xy \times 4}{4 \times ex} = \frac{xy}{ex} = \frac{y}{e}$$ 8. Ahora la expresión es: $$\log \left(\frac{y}{e}\right) - \log (ey)$$ 9. Aplicamos la resta de logaritmos: $$\log \left(\frac{y}{e}\right) - \log (ey) = \log \left(\frac{\frac{y}{e}}{ey}\right) = \log \left(\frac{y}{e} \times \frac{1}{ey}\right) = \log \left(\frac{y}{e^2 y}\right)$$ 10. Simplificamos dentro del logaritmo: $$\frac{y}{e^2 y} = \frac{1}{e^2}$$ 11. Finalmente: $$\log \left(\frac{1}{e^2}\right) = \log \left(e^{-2}\right) = -2$$ Respuesta final: $$-2$$