1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$R=\sqrt{(X+Y)(X-Y)(X^2+Y^2)(X^4+Y^4)} + Y^8$$. 2. Observamos que dentro de la raíz hay un producto de varios términos. Primero, notamos que $$(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$$ por la diferencia de cuadrados. 3. Entonces, la expresión dentro de la raíz se convierte en $$\sqrt{(X^2 - Y^2)(X^2 + Y^2)(X^4 + Y^4)}$$. 4. Multiplicamos los dos primeros factores: $$(X^2 - Y^2)(X^2 + Y^2) = X^4 - Y^4$$, otra diferencia de cuadrados. 5. Ahora la raíz es $$\sqrt{(X^4 - Y^4)(X^4 + Y^4)}$$. 6. Multiplicamos estos dos términos: $$(X^4 - Y^4)(X^4 + Y^4) = X^8 - Y^8$$, nuevamente diferencia de cuadrados. 7. Por lo tanto, la expresión dentro de la raíz es $$X^8 - Y^8$$ y la expresión completa es $$R = \sqrt{X^8 - Y^8} + Y^8$$. 8. La raíz cuadrada de $$X^8 - Y^8$$ no se puede simplificar más sin condiciones adicionales sobre $X$ y $Y$. Respuesta final: $$R = \sqrt{X^8 - Y^8} + Y^8$$.