1. **Problema:** Determinar as três raízes da função $f(x) = x^3 - 2x + 4$ sabendo que há uma raiz real $x_1$ e duas raízes complexas conjugadas $x_2 = a - ib$ e $x_3 = a + ib$. 2. **Fórmula e fatoração:** A função pode ser fatorada como $$f(x) = (x + 2)(x^2 - 2x + 2)$$ 3. **Encontrar as raízes:** - A raiz real vem do fator linear: $x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$ - As raízes complexas vêm do fator quadrático: $x^2 - 2x + 2 = 0$ 4. **Resolver a equação quadrática:** Usando a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ com $a=1$, $b=-2$, $c=2$: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$$ 5. **Portanto, as raízes são:** $$x_1 = -2, \quad x_2 = 1 - i, \quad x_3 = 1 + i$$ 6. **Parte b) Determinar $\sqrt{x_3}$:** Queremos $\sqrt{1 + i}$, ou seja, encontrar $z = a + bi$ tal que: $$z^2 = 1 + i$$ 7. **Equacionar:** $$ (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 1 + i$$ 8. **Igualar partes reais e imaginárias:** $$a^2 - b^2 = 1$$ $$2ab = 1$$ 9. **Resolver o sistema:** De $2ab = 1$, temos $b = \frac{1}{2a}$ (com $a \neq 0$). Substituindo na primeira equação: $$a^2 - \left(\frac{1}{2a}\right)^2 = 1 \Rightarrow a^2 - \frac{1}{4a^2} = 1$$ Multiplicando por $4a^2$: $$4a^4 - 1 = 4a^2$$ Rearranjando: $$4a^4 - 4a^2 - 1 = 0$$ 10. **Substituir $y = a^2$:** $$4y^2 - 4y - 1 = 0$$ Usando Bhaskara: $$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$$ 11. **Escolher valor positivo para $a^2$:** $$a^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$$ Logo, $$a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$$ 12. **Calcular $b$:** $$b = \frac{1}{2a} = \pm \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}}$$ 13. **Solução para $\sqrt{1 + i}$:** $$\sqrt{1 + i} = \pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}} \right)$$ **Resposta final:** - Raízes da função: $x_1 = -2$, $x_2 = 1 - i$, $x_3 = 1 + i$ - Raiz quadrada de $x_3$: $$\sqrt{x_3} = \pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}} \right)$$