1. El problema es encontrar los puntos críticos de la función $f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4$. 2. Los puntos críticos se encuentran donde la derivada de la función es cero o no está definida. 3. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4$$ 4. Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos: $$4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 = 0$$ 5. Dividimos todo entre 2 para simplificar: $$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = 0$$ 6. Buscamos raíces racionales usando el teorema del factor racional. Posibles raíces: $\pm1, \pm2$. 7. Probamos $x=1$: $$2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 2 = 2 + 3 - 3 - 2 = 0$$ es raíz. 8. Dividimos el polinomio por $(x-1)$ para factorizar: $$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = (x-1)(2x^2 + 5x + 2)$$ 9. Resolviendo cuadrática $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$ usando fórmula cuadrática: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$$ 10. Soluciones: $$x = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$x = \frac{-5 - 3}{4} = -2$$ 11. Por tanto, los puntos críticos son $$x = 1,$$ $$x = -\frac{1}{2},$$ y $$x = -2$$.