1. **Problema:** Resolver la expresión $$\frac{i^{2} + i^{5} - i^{15}}{i + i^{3} - i^{12}}$$ donde $i$ es la unidad imaginaria con la propiedad $i^{2} = -1$. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Potencias de $i$ se repiten en ciclo de 4: $$i^{1} = i, \quad i^{2} = -1, \quad i^{3} = -i, \quad i^{4} = 1, \quad i^{n+4} = i^{n}$$ - Simplificamos potencias usando módulo 4. 3. **Simplificación de potencias:** - $i^{2} = -1$ - $i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i$ - $i^{15} = i^{12} \cdot i^{3} = (i^{4})^{3} \cdot i^{3} = 1^{3} \cdot (-i) = -i$ - $i^{3} = -i$ - $i^{12} = (i^{4})^{3} = 1^{3} = 1$ 4. **Sustituyendo en numerador y denominador:** - Numerador: $i^{2} + i^{5} - i^{15} = (-1) + i - (-i) = -1 + i + i = -1 + 2i$ - Denominador: $i + i^{3} - i^{12} = i + (-i) - 1 = 0 - 1 = -1$ 5. **División:** $$\frac{-1 + 2i}{-1} = \frac{-1}{-1} + \frac{2i}{-1} = 1 - 2i$$ 6. **Respuesta final:** $$\boxed{1 - 2i}$$