1. Planteamiento del problema: Se tienen pesas de 3, 7 y 4 kg y una balanza de dos platillos. Se desea saber cuántos objetos de distinto peso se pueden obtener usando estas pesas, considerando que los objetos pesados no pueden usarse como pesas. 2. Regla importante: En una balanza de dos platillos, podemos colocar pesas en cualquiera de los dos platillos para equilibrar un objeto. Esto significa que el peso del objeto es la diferencia entre la suma de pesas en un platillo y la suma en el otro. 3. Definamos las pesas: $p_1=3$, $p_2=7$, $p_3=4$ kg. 4. Para cada pesa, podemos decidir ponerla en el platillo izquierdo (+), en el derecho (-) o no usarla (0). Esto genera combinaciones con coeficientes $-1,0,1$ para cada pesa. 5. El peso posible del objeto es entonces: $$W = a \times 3 + b \times 7 + c \times 4$$ con $a,b,c \in \{-1,0,1\}$. 6. Calculamos todos los valores posibles de $W$ excluyendo $W=0$ (no hay objeto): - Combinaciones con un solo peso: $\pm3$, $\pm7$, $\pm4$ - Combinaciones con dos pesos: $\pm(3+7)=\pm10$, $\pm(3+4)=\pm7$, $\pm(7+4)=\pm11$ - Combinaciones con pesos en lados opuestos: $7-3=4$, $7-4=3$, $4-3=1$, etc. 7. Listamos todos los valores distintos posibles: $\pm1$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm7$, $\pm10$, $\pm11$, $\pm14$ (por ejemplo, $3+7+4=14$ y $7+4-3=8$, etc.) 8. Para ser exhaustivos, generamos todas las combinaciones de $a,b,c$ en $\{-1,0,1\}$ y calculamos $W$: Posibles valores de $W$ son: $\pm1$, $\pm3$, $\pm4$, $\pm7$, $\pm8$, $\pm10$, $\pm11$, $\pm14$. 9. Contamos los valores positivos distintos (ya que el peso es positivo): $1,3,4,7,8,10,11,14$. 10. Por lo tanto, se pueden obtener 8 objetos de distinto peso. **Respuesta final:** Se pueden obtener **8** objetos de distinto peso con las pesas dadas.