1. Problema: Em uma progressão aritmética (PA) {a_n}, sabe-se que $a_2 + a_6 = 80$ e $a_3 + a_{11} = 155$. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA. 2. Fórmulas e regras importantes: - Termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n-1)d$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $d$ a razão. - Soma dos $n$ primeiros termos da PA: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$. 3. Usando as informações dadas: - $a_2 + a_6 = (a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 6d = 80$ - $a_3 + a_{11} = (a_1 + 2d) + (a_1 + 10d) = 2a_1 + 12d = 155$ 4. Resolvendo o sistema: - Subtraindo a primeira equação da segunda: $$ (2a_1 + 12d) - (2a_1 + 6d) = 155 - 80 $$ $$ 6d = 75 $$ $$ d = \frac{75}{6} = 12.5 $$ - Substituindo $d$ em $2a_1 + 6d = 80$: $$ 2a_1 + 6 \times 12.5 = 80 $$ $$ 2a_1 + 75 = 80 $$ $$ 2a_1 = 5 $$ $$ a_1 = 2.5 $$ 5. Calculando a soma dos 10 primeiros termos: $$ S_{10} = \frac{10}{2} (2 \times 2.5 + (10 - 1) \times 12.5) $$ $$ S_{10} = 5 (5 + 9 \times 12.5) $$ $$ S_{10} = 5 (5 + 112.5) = 5 \times 117.5 = 587.5 $$ Resposta final: A soma dos 10 primeiros termos da PA é $587.5$.