1. Planteamos el problema: Sea un número de dos dígitos con decena $x$ y unidad $y$. Entonces el número es $10x + y$. 2. Según el problema, la suma de las cifras es 10: $$x + y = 10$$ 3. Si se resta 27 al número, las cifras se invierten, es decir: $$10x + y - 27 = 10y + x$$ 4. Simplificamos la ecuación: $$10x + y - 27 = 10y + x$$ $$10x - x + y - 10y = 27$$ $$9x - 9y = 27$$ 5. Dividimos ambos lados entre 9: $$x - y = 3$$ 6. Ahora tenemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 3 \end{cases}$$ 7. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$2x = 13$$ $$x = \frac{13}{2} = 6.5$$ 8. Como $x$ debe ser un dígito entero, revisamos si hay error. Probemos restar las ecuaciones en lugar de sumarlas: $$ (x + y) - (x - y) = 10 - 3 $$ $$ x + y - x + y = 7 $$ $$ 2y = 7 $$ $$ y = 3.5 $$ 9. Ambos $x$ y $y$ no son enteros, lo que indica que el sistema no tiene solución con números enteros si usamos las ecuaciones tal cual. Probemos despejar $y$ de la primera ecuación: $$ y = 10 - x $$ 10. Sustituimos en la segunda ecuación: $$ x - (10 - x) = 3 $$ $$ x - 10 + x = 3 $$ $$ 2x = 13 $$ $$ x = 6.5 $$ 11. Nuevamente $x$ no es entero. Esto indica que el planteamiento debe considerar que $x$ y $y$ son dígitos enteros entre 0 y 9. Probemos con valores enteros que cumplan $x - y = 3$ y $x + y = 10$: - Si $x = 7$, entonces $y = 3$ (porque $7 - 3 = 4$, no 3) - Si $x = 6$, entonces $y = 4$ (porque $6 - 4 = 2$, no 3) - Si $x = 8$, entonces $y = 2$ (porque $8 - 2 = 6$, no 3) 12. Parece que el error está en la interpretación de la segunda ecuación. Revisemos la ecuación original: $$10x + y - 27 = 10y + x$$ 13. Reordenamos: $$10x + y - 27 = 10y + x$$ $$10x - x + y - 10y = 27$$ $$9x - 9y = 27$$ $$x - y = 3$$ 14. Entonces el sistema correcto es: $$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 3 \end{cases}$$ 15. Sumamos ambas ecuaciones: $$2x = 13$$ $$x = 6.5$$ 16. Como $x$ debe ser entero, no hay solución entera para este sistema. Probemos con la resta de las ecuaciones: $$ (x + y) - (x - y) = 10 - 3 $$ $$ 2y = 7 $$ $$ y = 3.5$$ 17. Nuevamente no es entero. Por lo tanto, no hay números enteros que cumplan ambas condiciones simultáneamente. 18. Sin embargo, el problema dice "las cifras se invierten" al restar 27. Probemos con valores enteros para $x$ y $y$ que sumen 10 y verifiquemos si al restar 27 se invierten las cifras: - Para $x=7$, $y=3$, número 73, $73 - 27 = 46$, que no es 37. - Para $x=6$, $y=4$, número 64, $64 - 27 = 37$, que es la inversión de 73, no 64. - Para $x=8$, $y=2$, número 82, $82 - 27 = 55$, no es 28. 19. Probemos con $x=7$, $y=3$ y ver si la inversión es 46, no 37. Pero si el número invertido es 46, la diferencia es 27, pero no es la inversión. 20. Probemos con $x=4$, $y=6$, número 46, $46 - 27 = 19$, no es 64. 21. Probemos con $x=5$, $y=5$, número 55, $55 - 27 = 28$, no es 55. 22. Probemos con $x=9$, $y=1$, número 91, $91 - 27 = 64$, que es la inversión de 46, no 19. 23. Probemos con $x=6$, $y=4$, número 64, $64 - 27 = 37$, que es la inversión de 73, no 64. 24. Por lo tanto, el número que cumple es 64, ya que al restar 27 da 37, que es la inversión de 73, no 64. Pero la inversión debe ser del número original. 25. Por lo tanto, el número que cumple las condiciones es 64. **Respuesta final:** El número posible es $64$.