1. Planteamos el problema: Hay que encontrar el menor número $n$ por el que multiplicar 648 para que el resultado tenga exactamente 40 divisores. 2. Descomponemos 648 en factores primos: $$648 = 2^3 \times 3^4$$ 3. Sea el número buscado $n = 2^a \times 3^b \times p_1^{c_1} \times \dots$ (puede que incluya otros primos), entonces el número resultante es: $$648 \times n = 2^{3+a} \times 3^{4+b} \times p_1^{c_1} \times \dots$$ 4. La cantidad de divisores de un número con descomposición $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots$ es: $$(e_1+1)(e_2+1) \dots$$ 5. Queremos que el número de divisores sea 40: $$(3+a+1)(4+b+1) \prod (c_i+1) = 40$$ 6. Suponemos inicialmente que solo usamos los primos 2 y 3 (para encontrar el menor número). Entonces: $$(4+a)(5+b) = 40$$ Buscamos factores enteros de 40: Posibles pares (4+a, 5+b): (1,40), (2,20), (4,10), (5,8), (8,5), (10,4), (20,2), (40,1) Desestimamos párametros que hacen que $a$ o $b$ sean negativos, ya que $a,b \geq 0$. - Para (4+a, 5+b) = (5,8): $a=1$, $b=3$ - Para (4+a, 5+b) = (8,5): $a=4$, $b=0$ 7. Calculamos los valores de $n$ para estas opciones: - Caso 1: $a=1$, $b=3$ entonces $n = 2^1 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$ - Caso 2: $a=4$, $b=0$ entonces $n = 2^4 = 16$ 8. Comparamos, el menor número es 16. 9. Verificamos el número de divisores de $648 \times 16 = 2^{3+4} \times 3^4 = 2^7 \times 3^4$: Número de divisores = $(7+1)(4+1) = 8 \times 5 = 40$ Respuesta final: El menor número por el que se debe multiplicar 648 para obtener 40 divisores es $\boxed{16}$.