1. El problema nos pregunta sobre la propiedad de una matriz cuyo determinante es distinto de cero. 2. La regla fundamental es: si el determinante de una matriz $A$ es diferente de cero, entonces la matriz es invertible. 3. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c) Invertible. 4. Ahora, calculamos los determinantes pedidos. 5. Para la matriz 4x4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$ Usamos la expansión por cofactores (por la primera fila): 6. Determinante $= 1 \cdot M_{11} - 3 \cdot M_{12} + 2 \cdot M_{13} -1 \cdot M_{14}$ donde $M_{ij}$ son los menores correspondientes. 7. Calculamos cada menor: - $M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix}$ - $M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix}$ - $M_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ - $M_{14} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$ 8. Calculamos $M_{11}$: $$2 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$$ $$= 2((-3)(3) - (2)(4)) - 1(1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + 3(1 \cdot 4 - (-3) \cdot 2)$$ $$= 2(-9 - 8) - 1(3 - 4) + 3(4 + 6) = 2(-17) - 1(-1) + 3(10) = -34 + 1 + 30 = -3$$ 9. Calculamos $M_{12}$: $$1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$$ $$= 1((-3)(3) - 2(4)) - 1(4 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + 3(4 \cdot 4 - (-3) \cdot 1)$$ $$= 1(-9 - 8) - 1(12 - 2) + 3(16 + 3) = -17 - 10 + 3(19) = -27 + 57 = 30$$ 10. Calculamos $M_{13}$: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1(1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 2(4 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + 3(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1)$$ $$= 1(3 - 4) - 2(12 - 2) + 3(8 - 1) = -1 - 2(10) + 3(7) = -1 - 20 + 21 = 0$$ 11. Calculamos $M_{14}$: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1(1 \cdot 4 - (-3) \cdot 2) - 2(4 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) + 1(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1)$$ $$= 1(4 + 6) - 2(16 + 3) + 1(8 - 1) = 10 - 2(19) + 7 = 10 - 38 + 7 = -21$$ 12. Finalmente, el determinante 4x4 es: $$1(-3) - 3(30) + 2(0) - 1(-21) = -3 - 90 + 0 + 21 = -72$$ 13. Para la matriz 3x3: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$ 14. Calculamos por la primera fila: $$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$$ 15. Calculamos cada menor: - $\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 4 = 3 - 16 = -13$ - $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$ - $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 8 - 1 = 7$ 16. Sustituimos: $$1(-13) - 2(2) + (-1)(7) = -13 - 4 - 7 = -24$$ 17. Ahora calculamos la inversa de la matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$. 18. Primero calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$$ 19. Calculamos los menores: - $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 4 - 2 = 2$ - $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$ 20. Sustituimos: $$2(2) - 0 + 1(4) = 4 + 4 = 8$$ 21. Como $\det(A) = 8 \neq 0$, la matriz es invertible. 22. Calculamos la matriz adjunta $\text{adj}(A)$, que es la traspuesta de la matriz de cofactores. 23. Calculamos los cofactores: - $C_{11} = + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$ - $C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = - (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = - (2 + 1) = -3$ - $C_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4$ - $C_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = - (0 \cdot 2 - 1 \cdot 2) = - (0 - 2) = 2$ - $C_{22} = + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 4 + 1 = 5$ - $C_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = - (2 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) = - (4 - 0) = -4$ - $C_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = -2$ - $C_{32} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = - (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = - (2 - 1) = -1$ - $C_{33} = + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 = 4$ 24. Matriz de cofactores: $$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$ 25. Matriz adjunta (traspuesta): $$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ 4 & -4 & 4 \end{bmatrix}$$ 26. Finalmente, la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ 4 & -4 & 4 \end{bmatrix}$$ 27. Por último, resolvemos la ecuación $IA + XI = O$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, $A$ es una matriz rectangular, $X$ es un escalar o matriz, y $O$ es la matriz nula. 28. Recordemos que $I$ es la matriz identidad, por lo que $IA = A$ y $XI$ es $X$ multiplicado por la identidad. 29. La ecuación queda: $$A + X I = O$$ 30. Despejamos $X I$: $$X I = -A$$ 31. Multiplicando ambos lados por $I^{-1} = I$ (la identidad es su propia inversa): $$X = -A$$ 32. Pero $X$ debe ser una matriz que satisface esta igualdad. Si $X$ es escalar, la ecuación solo es posible si $A$ es proporcional a la identidad, lo cual no es el caso general. 33. Por lo tanto, la solución general es: $$X = -A$$ **Respuesta final:** - 1) La matriz es invertible. - 2a) Determinante 4x4 = $-72$. - 2b) Determinante 3x3 = $-24$. - 3) Inversa de $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -1 \\ 4 & -4 & 4 \end{bmatrix}$$ - 4) Solución de la ecuación: $X = -A$.