1. Planteamos el problema: Resolver la inecuación $$|2x| < |x - 1|$$. 2. Recordemos que el valor absoluto de un número representa su distancia al cero, por lo que $$|a| < |b|$$ significa que la distancia de $$a$$ a cero es menor que la distancia de $$b$$ a cero. 3. Para resolver $$|2x| < |x - 1|$$, consideramos los casos según los signos de las expresiones dentro de los valores absolutos. 4. Caso 1: $$x - 1 eq 0$$ y $$2x eq 0$$, analizamos la desigualdad sin valores absolutos usando la definición: $$|A| < |B| \iff -|B| < A < |B|$$ Pero aquí es más sencillo considerar la desigualdad cuadrática equivalente: $$|2x| < |x - 1| \iff (2x)^2 < (x - 1)^2$$ 5. Elevamos al cuadrado ambos lados (esto es válido porque ambos lados son valores absolutos y por tanto no negativos): $$4x^2 < (x - 1)^2$$ 6. Expandimos el lado derecho: $$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$ 7. La desigualdad queda: $$4x^2 < x^2 - 2x + 1$$ 8. Restamos $$x^2 - 2x + 1$$ a ambos lados: $$4x^2 - x^2 + 2x - 1 < 0$$ $$3x^2 + 2x - 1 < 0$$ 9. Resolvemos la inecuación cuadrática $$3x^2 + 2x - 1 < 0$$. 10. Calculamos las raíces de la ecuación $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$ usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$ 11. Las raíces son: $$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 12. Como el coeficiente principal $$3$$ es positivo, la parábola abre hacia arriba, por lo que la inecuación $$3x^2 + 2x - 1 < 0$$ se cumple entre las raíces: $$-1 < x < \frac{1}{3}$$ 13. Verificamos que en este intervalo la desigualdad original $$|2x| < |x - 1|$$ se cumple. 14. Por lo tanto, la solución es: $$\boxed{\left(-1, \frac{1}{3}\right)}$$