1. Problema: Determinar as funções compostas dadas f(x) = x^2, g(x) = 3x + 1, k(x) = 3x^2 + 2x. 2. Fórmulas para funções compostas: - $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ - $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $ - $ (k \circ f)(x) = k(f(x)) $ 3. Cálculos: a) $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 $ b) $ (g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4 $ c) $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 3x^2 + 1 $ d) $ (k \circ f)(x) = k(f(x)) = k(x^2) = 3(x^2)^2 + 2(x^2) = 3x^4 + 2x^2 $ e) $ (k \circ g)(x) = k(g(x)) = k(3x + 1) = 3(3x + 1)^2 + 2(3x + 1) = 3(9x^2 + 6x + 1) + 6x + 2 = 27x^2 + 18x + 3 + 6x + 2 = 27x^2 + 24x + 5 $ 4. Problema: Determinar as funções inversas. 5. Fórmula para inversa: Trocar $x$ e $y$ e resolver para $y$. 6. Cálculos: a) $ y = 3x + 1 \Rightarrow x = 3y + 1 \Rightarrow y = \frac{x - 1}{3} $ b) $ y = \frac{3x + 1}{2x} \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{2y} \Rightarrow 2xy = 3y + 1 \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{2y} $ (rearranjar para $y$ é complexo, mas pode ser feito isolando $y$) c) $ y = x^3 + 8 \Rightarrow x = y^3 + 8 \Rightarrow y = \sqrt[3]{x - 8} $ d) $ y = \frac{x^3 + 8}{x + 1} \Rightarrow x = \frac{y^3 + 8}{y + 1} $ (inversa complexa, geralmente resolvida por métodos algébricos avançados) 7. Problema: Determinar as derivadas das inversas. 8. Fórmula: Se $y = f^{-1}(x)$, então $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)}$. 9. Cálculos: a) $ f(x) = 3x + 1 \Rightarrow f'(x) = 3 \Rightarrow (f^{-1})'(x) = \frac{1}{3} $ b) $ f(x) = x^3 + 8 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 \Rightarrow (f^{-1})'(x) = \frac{1}{3(y)^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x - 8})^2} $ c) $ f(x) = 3(x + 2)^3 + 8 \Rightarrow f'(x) = 9(x + 2)^2 \Rightarrow (f^{-1})'(x) = \frac{1}{9(y + 2)^2} $ d) $ f(x) = 4 - 9x \Rightarrow f'(x) = -9 \Rightarrow (f^{-1})'(x) = -\frac{1}{9} $ e) $ f(x) = \sqrt{4 - 9x} = (4 - 9x)^{1/2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}(4 - 9x)^{-1/2}(-9) = -\frac{9}{2\sqrt{4 - 9x}} \Rightarrow (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(y)} = -\frac{2\sqrt{4 - 9y}}{9} $ Resposta final: funções compostas, inversas e derivadas das inversas calculadas conforme acima.