1. Problema 62: Si $f$ es una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y $g$ es una función par de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, entonces la función $f \circ g$ es par.\n\n- Una función $g$ es par si cumple $g(-x) = g(x)$ para todo $x$.\n- Para $f \circ g$ ser par, debe cumplirse $(f \circ g)(-x) = (f \circ g)(x)$.\n- Como $g$ es par, $g(-x) = g(x)$, entonces $(f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$.\n- Por lo tanto, $f \circ g$ es par.\n\nRespuesta: a) Verdadero.\n\n2. Problema 63: Dadas $f(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ x+1 & x \geq 0 \end{cases}$ y $g(x) = x^{2} - 1$, encontrar la regla de correspondencia de $g \circ f$.\n\n- Por definición, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.\n- Para $x<0$, $f(x) = 0$, entonces $g(f(x)) = g(0) = 0^{2} - 1 = -1$.\n- Para $x \geq 0$, $f(x) = x+1$, entonces $g(f(x)) = (x+1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x$.\n\nPor lo tanto,\n$$(g \circ f)(x) = \begin{cases} -1 & x<0 \\ x^{2} + 2x & x \geq 0 \end{cases}$$\n\nRespuesta correcta: b) $\begin{cases} -1 & x<0 \\ x^{2} + 2x & x \geq 0 \end{cases}$.\n\n3. Problema 64: Sea $g(x) = x^{3}$.\na) Encontrar $g^{-1}$.\n- La función $g(x) = x^{3}$ es biyectiva y su inversa es $g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$.\n\nb) Graficar $g$ y $g^{-1}$ en el mismo sistema.\n- Ambas funciones son simétricas respecto a la recta $y=x$.\n\nc) Encontrar $A_{q}(x)$ si $q(x): g(x) = g^{-1}(x)$.\n- Igualamos $g(x) = g^{-1}(x)$: $x^{3} = \sqrt[3]{x}$.\n- Elevamos ambos lados al cubo: $(x^{3})^{3} = x$, es decir, $x^{9} = x$.\n- Esto implica $x^{9} - x = 0 \Rightarrow x(x^{8} - 1) = 0$.\n- Soluciones reales: $x=0$ o $x^{8} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.\n- Por lo tanto, $A_{q}(x) = \{ -1, 0, 1 \}$.\n\n4. Problema 65: Dadas $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x^{2}$, $h(x) = x - 1$, encontrar $f \circ g \circ h$.\n\n- Primero, $g \circ h (x) = g(h(x)) = g(x-1) = (x-1)^{2}$.\n- Luego, $f \circ (g \circ h)(x) = f((x-1)^{2}) = \sqrt{(x-1)^{2}} = |x-1|$.\n\nPor lo tanto, $f \circ g \circ h (x) = |x-1|$.\n\n5. Problema 66: Dado $(f \circ g)(x) = x^{2} + 2x + 6$ y $f(0) = 9$, determinar la regla de correspondencia de $g$ para:\na) $g(x) = x - k$, con $k \in \mathbb{N}$.\nb) $g(x) = x - k$, con $k \in \mathbb{Z}^{-}$.\n\n- Sabemos que $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^{2} + 2x + 6$.\n- Sea $g(x) = x - k$, entonces $f(x - k) = x^{2} + 2x + 6$.\n- Para encontrar $f$, evaluamos en $x=0$: $f(0) = 9$.\n- Reescribimos $f(y)$ en términos de $y$: $f(y) = (y + k)^{2} + 2(y + k) + 6$ para $y = x - k$.\n- Evaluamos $f(0)$: $f(0) = k^{2} + 2k + 6 = 9$.\n- Entonces, $k^{2} + 2k + 6 = 9 \Rightarrow k^{2} + 2k - 3 = 0$.\n- Resolviendo la cuadrática: $k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.\n- Soluciones: $k=1$ o $k=-3$.\n\nPor lo tanto:\na) Si $k \in \mathbb{N}$, $k=1$.\nb) Si $k \in \mathbb{Z}^{-}$, $k=-3$.\n\n6. Problema 67: Dadas $f(x) = \begin{cases} 2(x-3) & x \leq 3 \\ (x-2)^{2} & x > 3 \end{cases}$ y $g(x) = 1 - 2x$ para $x \leq 0$, encontrar la regla de correspondencia de $f \circ g$.\n\n- Primero, el dominio de $g$ es $x \leq 0$.\n- Evaluamos $g(x)$ para $x \leq 0$: $g(x) = 1 - 2x$.\n- Para determinar la regla de $f \circ g$, necesitamos saber si $g(x) \leq 3$ o $g(x) > 3$.\n- Resolvemos $g(x) \leq 3$: $1 - 2x \leq 3 \Rightarrow -2x \leq 2 \Rightarrow x \geq -1$.\n- Como $x \leq 0$ y $x \geq -1$, para $x \in [-1,0]$, $g(x) \leq 3$.\n- Para $x < -1$, $g(x) > 3$.\n\nEntonces:\n- Para $x \in [-1,0]$, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(g(x) - 3) = 2(1 - 2x - 3) = 2(-2 - 2x) = -4 - 4x$.\n- Para $x < -1$, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x) - 2)^{2} = (1 - 2x - 2)^{2} = (-2x -1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$.\n\nPor lo tanto,\n$$(f \circ g)(x) = \begin{cases} 4x^{2} + 4x + 1 & x < -1 \\ -4 - 4x & -1 \leq x \leq 0 \end{cases}$$